想要快速地筛出一定上限内的素数？
下面这种方法可以保证范围内的每个合数都被删掉（在 bool 数组里面标记为非素数），而且任一合数只被：
“最小质因数 × 最大因数（非自己） = 这个合数”
的途径删掉。由于每个数只被筛一次，时间复杂度为 O(n)。
欧拉筛
先浏览如何实现再讲其中的原理。
实现
#include <cstdio>
#include <cstring>
bool isPrime[100000010];
//isPrime[i] == 1表示：i是素数
int Prime[6000010], cnt = 0;
//Prime存质数
void GetPrime(int n)//筛到n
{
memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
//以“每个数都是素数”为初始状态，逐个删去
isPrime[1] = 0;//1不是素数
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(isPrime[i])//没筛掉
Prime[++cnt] = i; //i成为下一个素数
for(int j = 1; j <= cnt && i*Prime[j] <= n/*不超上限*/; j++)
{
//从Prime[1]，即最小质数2开始，逐个枚举已知的质数，并期望Prime[j]是(i*Prime[j])的最小质因数
//当然，i肯定比Prime[j]大，因为Prime[j]是在i之前得出的
isPrime[i*Prime[j]] = 0;
if(i % Prime[j] == 0)//i中也含有Prime[j]这个因子
break; //重要步骤。见原理
}
}
}
int main()
{
int n, q;
scanf("%d %d", &n, &q);
GetPrime(n);
while (q--)
{
int k;
scanf("%d", &k);
printf("%d\n", Prime[k]);
}
return 0;
}import time
def get_prime(x):
for i in range(2,x+1):
if st[i]:
primes.append(i)
for j in range(len(primes)):
if primes[j]*i>x:
break
st[primes[j]*i]=False
if i%primes[j]==0:
break
start=time.time()
n=10000
N=n+5
st=[True]*N
primes=[]
get_prime(n)
print(len(primes))
end=time.time()
print('程序运行时间',end-start)
with open('./primes.txt','w') as f:
f.write('\n'.join(map(str,primes)))原理概述
代码中，外层枚举i=1→n。对于一个 ii，经过前面的腥风血雨，如果它还没有被筛掉，就加到质数数组 Prime[]中。下一步，是用 i来筛掉一波数。
内层从小到大枚举 Prime[j]。i×Prime[j] 是尝试筛掉的某个合数，其中，我们期望 Prime[j] 是这个合数的最小质因数 (这是线性复杂度的条件，下面叫做“筛条件”)。它是怎么得到保证的？
j 的循环中，有一句就做到了这一点：
if(i % Prime[j] == 0)
break;j 循环到 i \mod Prime[j] == 0imodPrime[j]==0 就恰好需要停止的理由是：
下面用 s(smaller) 表示小于 j 的数，L(larger)表示大于 j 的数。
① i 的最小质因数肯定是 Prime[j]。
（如果 i 的最小质因数是 Prime[s] ，那么 Prime[s] 更早被枚举到（因为我们从小到大枚举质数），当时就要break）
既然 ii 的最小质因数是 Prime[j]，那么 i×Prime[j] 的最小质因数也是 Prime[j]。所以，j 本身是符合“筛条件”的。
②i×Prime[s] 的最小质因数确实是 Prime[s]。
（如果是它的最小质因数是更小的质数 Prime[t]，那么当然Prime[t] 更早被枚举到，当时就要break）
这说明 j 之前（用 i×Prime[s] 的方式去筛合数，使用的是最小质因数）都符合“筛条件”。
③ i × Prime[L] 的最小质因数一定是 Prime[j]。
（因为 i 的最小质因数是 Prime[j]，所以 i×Prime[L] 也含有 Prime[j] 这个因数（这是 i 的功劳），所以其最小质因数也是 Prime[j]（新的质因数 Prime[L] 太大了））
这说明，如果 j 继续递增（将以 i×Prime[L] 的方式去筛合数，没有使用最小质因数），是不符合“筛条件”的。
小提示：
当 ii 还不大的时候，可能会一层内就筛去大量合数，看上去耗时比较大，但是由于保证了筛去的合数日后将不会再被筛（总共只筛一次），复杂度是线性的。到 ii 接近 nn 时，每层几乎都不用做什么事。
