主要还是调包：
from numpy.linalg import eig
特征值分解： A = P*B*PT 当然也可以写成 A = PT*B*P 其中B为对角元为A的特征值的对角矩阵。
首先A得正定，然后才能在实数域上分解，
>>> A = np.random.randint(-10,10,(4,4))>>>A
array([[6, 9, -10, -1],
[5, 9, 5, -5],
[-8, 7, -4, 4],
[-1, -9, 0, 6]])>>> C =np.dot(A.T, A)>>>C
array([[126, 52, -3, -69],
[52, 292, -73, -80],
[-3, -73, 141, -31],
[-69, -80, -31, 78]])>>> vals, vecs =eig(C)>>>vals
array([357.33597086, 174.10172008, 8.84429957, 96.71800949])>>>vecs
array([[-0.28738314, -0.51589436, -0.38221983, -0.71075449],
[-0.87487263, 0.12873861, -0.24968051, 0.39456798],
[0.2572149 , -0.69304313, -0.33950158, 0.58161018],
[0.29300052, 0.48679627, -0.82237845, -0.02955945]])
故使用时应先将特征值转换为矩阵：
>>> Lambda =np.diag(vals)>>>Lambda
array([[357.33597086, 0. , 0. , 0. ],
[ 0. ,174.10172008, 0. , 0. ],
[ 0. , 0. ,8.84429957, 0. ],
[ 0. , 0. , 0. ,96.71800949]])>>> np.dot(np.dot(vecs, Lambda), vecs.T) #与C=A.T*A相等
array([[126., 52., -3., -69.],
[52., 292., -73., -80.],
[-3., -73., 141., -31.],
[-69., -80., -31., 78.]])>>>np.dot(np.dot(vecs.T, Lambda), vecs)
array([[171.65817919, 45.58778569, 53.20435074, 13.37512137],
[45.58778569, 125.15670964, 28.22684299, 134.91290105],
[53.20435074, 28.22684299, 129.48789571, 80.5284382],
[13.37512137, 134.91290105, 80.5284382 , 210.69721545]])
故验证了使用np中的eig分解为A=P*B*PT而不是A=PT*B*P，其中P=vecs，
即 C = vecs * np.diag(vals) * vecs.T #这里简写*为矩阵乘法
然后再来看使用np中的eig分解出来的vec中行向量是特征向量还是列向量是特征向量，只需验证：A*vecs[0] = vals[0]*vecs[0]
>>>np.dot(C, vecs[0])
array([-12.84806258, -80.82266859, 6.66283128, 17.51094927])>>> vals[0]*vecs[0]
array([-102.69233303, -184.34761071, -136.58089252, -253.97814676])>>>np.dot(C, vecs[:,0])
array([-102.69233303, -312.62346098, 91.91213634, 104.69962583])>>> vals[0]*vecs[:, 0]
array([-102.69233303, -312.62346098, 91.91213634, 104.69962583])
后者两个是相等的，故使用np中的eig分解出的vecs的列向量是特征向量。
然后我们可以验证P是单位正交矩阵：
>>>np.dot(vecs.T, vecs)
array([[1.00000000e+00, -7.13175042e-17, -2.45525952e-18,2.75965773e-16],
[-7.13175042e-17, 1.00000000e+00, 2.49530948e-17,-5.58839097e-16],
[-2.45525952e-18, 2.49530948e-17, 1.00000000e+00,-7.85564967e-17],
[2.75965773e-16, -5.58839097e-16, -7.85564967e-17,1.00000000e+00]])>>>np.dot(vecs, vecs.T)
array([[1.00000000e+00, 2.97888865e-16, -2.68317972e-16,1.69020590e-16],
[2.97888865e-16, 1.00000000e+00, -4.40952204e-18,-6.24188690e-17],
[-2.68317972e-16, -4.40952204e-18, 1.00000000e+00,-1.13726775e-17],
[1.69020590e-16, -6.24188690e-17, -1.13726775e-17,1.00000000e+00]])#可以看到除对角元外其他都是非常小的数
即PT*P = P*PT = E , PT=P-1。事实上，在求解P的过程中就使用了施密特正交化过程。
另一方面，我们从数学角度来看：
首先补充一些数学知识：
首先AB相似：P-1*A*P=B，AB合同：CT*A*C=B,
二次型：系数在K中的一个n元二次多项式。由其生成的矩阵称为二次型的矩阵，二次型的矩阵一定是对称矩阵！
正定矩阵：实二次型xT*A*x > 0, x为列向量。
性质：假设A为正定矩阵
1、正定矩阵特征值全大于0
2、行列式 |A| >0
3、A合同于单位阵E，即存在可逆方阵C， s.t. CT*E*C = A = CT*C, 显然可得A为对称正定
正交矩阵：A*AT=AT*A=E ，
性质：
1、A的各行/列是单位向量且两两正交
2、AT=A-1
3、|A|=1
4、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
酉矩阵：A*AH=AH*A=E 显然为正交矩阵在复数域上的推广。其中H为共轭转置。
性质：
1、A的各行/列是单位向量且两两正交
2、AH=A-1
3、|A|=1
(这里补充一个厄米特矩阵：AH= A)
正规矩阵：A*AH=AH*A (以上的矩阵均有这个性质，故正规矩阵最为广泛)
正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵U，使得A酉相似于对角矩阵B，即UH*A*U=U-1*A*U=B。
A = P*B*P ，其中B为对角元素为A的特征值的对角阵，P的列向量为特征值对应的特征向量(因为B每行乘以P每列)
