这篇文章描述了怎么用 Python 实现复杂度为 O(1) 的「最不常用」(Least Frequently Used， LFU)缓存回收算法。在 Ketan Shah、Anirban Mitra 和 Dhruv Matani的论文中有算法描述。实现中的命名是按照论文中的命名。
LFU 缓存回收机制对于 HTTP 缓存网络代理是非常有用的，我们可以从缓存中移除那些最不常使用的条目。
本文旨在设计一个其所有操作的时间复杂度都只有 O(1)的 LFU 缓存算法，这些操作包括了插入、访问和删除(回收)。
这个算法中用了双向链表。其一是用于访问频率，链表中的每个结点都包含一个链表，其中的元素有相同的访问频率。假设缓存中有5个元素。有两个元素被访问了一次，三个元素被访问了两次。在这个例子中，访问频率列表有两个结点(频率为1和2)。第一个频率结点的链表中有两个结点，第二个频率结点的链表中有三个结点。
我们要怎么构建它呢？我们需要的第一个对象是结点：
class Node(object):
"""Node containing data, pointers to previous and next node."""
def __init__(self, data):
self.data = data
self.prev = None
self.next = None接下来是双向链表。每个结点有 prev 和 next 属性，分别等于前一个和下一个结点。head 被设为第一个结点，tail 被设为最后一个结点。
我们可以为双向链表定义方法来在链表尾部加入结点，插入结点，删除结点以及获得链表所有结点的数据。
class DoublyLinkedList(object):
def __init__(self):
self.head = None
self.tail = None
# Number of nodes in list.
self.count = 0
def add_node(self, cls, data):
"""Add node instance of class cls."""
return self.insert_node(cls, data, self.tail, None)
def insert_node(self, cls, data, prev, next):
"""Insert node instance of class cls."""
node = cls(data)
node.prev = prev
node.next = next
if prev:
prev.next = node
if next:
next.prev = node
if not self.head or next is self.head:
self.head = node
if not self.tail or prev is self.tail:
self.tail = node
self.count += 1
return node
def remove_node(self, node):
if node is self.tail:
self.tail = node.prev
else:
node.next.prev = node.prev
if node is self.head:
self.head = node.next
else:
node.prev.next = node.next
self.count -= 1
def get_nodes_data(self):
"""Return list nodes data as a list."""
data = []
node = self.head
while node:
data.append(node.data)
node = node.next
return data访问频率双向链表中的每个结点都是一个频率结点(下图中的Freq Node)。它是一个结点，同时也是一个包含有相同频率的元素(下图中Item node)的双向性链表。每个条目结点都有一个指向其频率结点父亲的指针。
class FreqNode(DoublyLinkedList, Node):
"""Frequency node containing linked list of item nodes with
same frequency."""
def __init__(self, data):
DoublyLinkedList.__init__(self)
Node.__init__(self, data)
def add_item_node(self, data):
node = self.add_node(ItemNode, data)
node.parent = self
return node
def insert_item_node(self, data, prev, next):
node = self.insert_node(ItemNode, data, prev, next)
node.parent = self
return node
def remove_item_node(self, node):
self.remove_node(node)
class ItemNode(Node):
def __init__(self, data):
Node.__init__(self, data)
self.parent = None条目结点的数据等于我们要存储的元素的键，这个键可以是一条HTTP请求。内容本身(例如HTTP响应)存储在字典中。字典中的每个值是LfuItem类型，”data”是缓存的内容，”parent”是指向频率结点的指针，”node”是指向频率结点下条目结点的指针。
class LfuItem(object):
def __init__(self, data, parent, node):
self.data = data
self.parent = parent
self.node = node我们已经定义了数据对象类，现在可以定义缓存对象类了。它有一个双向链表(访问频率链表)和一个包含LFU条目(上面的LfuItem)的字典。我们定义两个方法：一个用来插入频率结点，一个用来删除频率结点。
class Cache(DoublyLinkedList):
def __init__(self):
DoublyLinkedList.__init__(self)
self.items = dict()
def insert_freq_node(self, data, prev, next):
return self.insert_node(FreqNode, data, prev, next)
def remove_freq_node(self, node):
self.remove_node(node)下一步是定义方法来插入到缓存，访问缓存以及从缓存中删除。
我们来看看插入方法的逻辑。它以一个键和值为参数，例如HTTP请求和响应。如果没有频率为1的频率结点，它就被插入到访问频率双向链表的开头。一个条目结点被加入到频率结点的条目双向链表。键和值被加入到字典中。复杂度是O(1)。
def insert(self, key, value):
if key in self.items:
raise DuplicateException('Key exists')
freq_node = self.head
if not freq_node or freq_node.data != 1:
freq_node = self.insert_freq_node(1, None, freq_node)
freq_node.add_item_node(key)
self.items[key] = LfuItem(value, freq_node)我们在缓存中插入两个元素，得到：
我们来看看访问方法的逻辑。如果键不存在，我们抛出异常。如果键存在，我们把条目结点移到频率加一的频率结点的链表中(如果频率结点不存在就增加这个结点)。复杂度是O(1)。
如果我们访问Key 1的条目，这个条目结点就被移动到频率为2的频率结点之下。我们得到：
如果我们访问Key 2的条目，这个条目结点就被移动到频率为2的频率结点之下。频率为1的频率结点会被删除(译注：因为它之下没有条目结点了)，我们得到：
我们再看看delete_lfu方法。它把最不常使用的条目从缓存中删除。为此，它删除第一个频率结点下的第一个条目结点，同时从字典删除对应的LFUItem对象。如果此操作过后，频率结点的链表为空，就删除这个频率结点。
def delete_lfu(self):
"""Remove the first item node from the first frequency node.
Remove the item from the dictionary.
"""
if not self.head:
raise NotFoundException('No frequency nodes found')
freq_node = self.head
item_node = freq_node.head
del self.items[item_node.data]
freq_node.remove_item_node(item_node)
if freq_node.count == 0:
self.remove_freq_node(freq_node)如果在缓存上调用delete_lfu，数据为Key 1的条目结点和它的LFUItem将被删除。我们得到：
