一、聚类第一个无监督的算法
1、无监督学习
有X
没有Y
利用X相似性
聚类
对大量未标注的数据集，按内在相似性划分为多个类别，类别内相似度大，类之间相似度小
2、距离的概念
2.1欧几里得距离（欧式距离）
假设超人要从A点到B点，可以直接飞过去，那飞过去的距离就是欧式距离。
2.2曼哈顿距离
假设普通人要从A点到B点，那只能绕着建筑物走，这个距离就是曼哈顿距离
2.3闵可夫斯基距离
闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，其中的p是一个参数当p=1时，就是曼哈顿距离
当p=2时，就是欧式距离
当p->∞时，就是切比雪夫距离
3、相似度
二维空间的公式
三维空间的公式：
定义式：
Jaccard相似系数
（Jarrcard Similarity Coefficient）用于比较有限样本集之间的相似性和差异性
Jarrcard系数值越大，样本相似度越高。
4、推荐系统
用户实际喜欢 [8, 9, 17, 25, 4]
给用户的推荐 [9, 10, 17, 24, 4, 8]、 [8, 9, 25]
哪两个推荐结果更好呢？
A集合和B集合相交的越多，它的相似性越强，当然要考虑它们并一起的大小，因为集合越大越可能相交的越多，这就有了Jaccard相似系数
度量集合，考虑热门商品
空间嵌入点的问题，有时候用欧式，有时候用余弦距离，度量文档相似性。
5、聚类
簇
本质上，N个样本，映射到K个簇中
每个簇至少有一个样本
一般情况下，一个样本只属于一个簇(也有一个样样本属于多个簇的)
最基本：
先给定一个初始划分，迭代改变样本和簇的隶属关系，每次都比前一次好。
K-Means聚类
聚类是一种无监督的机器学习任务，它可以自动将数据划分成类cluster。因此聚类分组不需要提前被告知所划分的组应该是什么样子的。因为我们甚至可能都不知道我们再寻找什么，所以聚类是用于知识发现而不是预测。
6、聚类原则
聚类原则是一个组内的记录彼此必须非常相似，而与该组之外的记录截然不同。所有聚类做的就是遍历所有数据然后找到这些相似性。
使用距离来分配和更新类。
7、K-Means
选择K个初始的簇中心，随机的（拍脑袋给的），或者先验知识给的
某一个样本和某一个聚类中心的距离
计算所属聚类的样本均值。
8、二分K-Means
选择的初始值会对聚类结果有影响吗？如何调整
那么首先回答损失函数是什么？
MSE1, MSE2, MSE3, MSE4
两个簇里面的样本数量都很小
两个簇中心很近
两个MSE很小
合并
簇中心离的很远
MSE很大
分开
K-Means++
选择初始化簇中心稍微远一点
随机选择第一个
算每个样本到第一个样本距离，样本距离可以算成概率
概率化选择
9、K均值损失函数
假定数据点分布符合高斯分布
K个高斯分布混合得到的样本数据分布
最大似然估计！
似然函数取最大值
概率密度相乘， 再 各个族似然相乘
找到那些个miu可以使得取最大
这个就是K均值的损失函数，从机器学习角度重新看待，平方误差。
10、求偏导
公式化解释K均值
所以K均值假设了高斯混合模型，GMM，并且假设了方差sigma是一样的
K均值是在给定损失函数的情况下，梯度下降的一个应用
高斯混合分布不是线性回归凸函数，有多个极小值
K-means++或者多算几次
11、k的选择
K = N, MSE 为 0
K = 1, MSE就是原始数据的方差
选择一开始下降速度快，后来下降速度慢的
elbow method， 不止于K均值
代码案例：
# encoding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn.datasets as ds
import matplotlib.colors
from sklearn.cluster import KMeans
def expand(a, b):
"""
为了扩展x，y轴的长度
"""
d = (b - a) * 0.1
return a-d, b+d
if __name__ == '__main__':
# 创建400个样本
N = 400
# 准备分出4个类别
centers = 4
# 创建聚类的数据（按照4个正太分布创建点）【想看看方差一样的，数据量一样的，分类效果好不好】
data, y = ds.make_blobs(N, n_features=2, centers=centers, random_state=2)
print(data)
# 方差和上面不一样，方差越大，数据集越分散；方差越小，数据集越密集【想看看方差不一样，数据量一样，分类效果好不好】
data2, y2 = ds.make_blobs(N, n_features=2, centers=centers, cluster_std=(1, 2.5, 0.5, 2), random_state=2)
# 从原来数据中选一部分的数据出来【想看看从每条数据里选不同的样本数量的分类效果好不好】
data3 = np.vstack((data[y==0][:], data[y==1][:50], data[y==2][:20], data[y==3][:5]))
# 按道理来说，聚类是不需要y值的，这里的y主要是为了看我们的聚类效果准不准
y3 = np.array([0] * 100 + [1] * 50 + [2] * 20 + [3] * 5)
print(y3)
# k-means++是为了改变初始化的值，所以参数名称是init
cls = KMeans(n_clusters=5, init='k-means++')
y_hat = cls.fit_predict(data)
y2_hat = cls.fit_predict(data2)
y3_hat = cls.fit_predict(data3)
# matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
cm = matplotlib.colors.ListedColormap(list('rgbm'))
plt.figure(figsize=(9, 10), facecolor='w')
# subplot用来画子表的 4行 2列 1第一个图
plt.subplot(421)
plt.title("Original Data")
# scatter散点图
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=y, s=10, cmap=cm, edgecolors='none')
x1_min, x2_min = np.min(data, axis=0)
x1_max, x2_max = np.max(data, axis=0)
x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)
x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
plt.subplot(422)
plt.title("KMeans ++ Clusting")
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=y_hat, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
"""
对数据进行旋转
"""
m = np.array(((1, 1), (1, 3)))
data_r = data.dot(m)
y_r_hat = cls.fit_predict(data_r)
plt.subplot(423)
plt.title('Rotation Data')
plt.scatter(data_r[:, 0], data_r[:, 1], c=y, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
x1_min, x2_min = np.min(data_r, axis=0)
x1_max, x2_max = np.max(data_r, axis=0)
x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)
x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
plt.subplot(424)
plt.title('Rotated KMeans++ Clusting')
plt.scatter(data_r[:, 0], data_r[:, 1], c=y_r_hat, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
plt.subplot(425)
plt.title('Different Variance Data')
plt.scatter(data2[:, 0], data2[:, 1], c=y2_hat, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
x1_min, x2_min = np.min(data2, axis=0)
x1_max, x2_max = np.max(data2, axis=0)
x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)
x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
plt.subplot(426)
plt.title('Different Variance Data KMeans++ Clusting')
plt.scatter(data2[:, 0], data2[:, 1], c=y2_hat, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.grid(True)
plt.tight_layout(2, rect=(0, 0, 1, 0.97))
plt.show()效果图：
二、聚类（二）
1、Canopy聚类
T1和T2不同聚类结果
2、聚类的评估 – Given Label
均一性，一个簇中只包含一个类别样本， Precision
完整性，同类别样本被归到同一个簇中， Recall
Trade Off
V-Measure, F-Measure
二者加权平均
c：完整性
h：均一性
3、聚类的评估 – No Label – 轮廓系数
计算同簇内每一个样本到同簇内样本的平均距离，可以度量这个样本和其他同簇样本的相似性
计算一个簇内每一个样本到不同簇内所有样本的距离，不同簇的那些样本距离求平均，然后求最小的那个距离，是不相似性
第一个值很小，第二个值很大，那就簇内很典型性的样本
如果相反，按道理应该属于另外一个簇了
Si接近1说明样本i聚类合理，Si接近-1说明样本更应该分到其他簇
Si接近0说明在簇分界上
4、层次聚类
理解起来有点像无监督的决策树
分裂的层次聚类： DIANA
把原始数据集去不断的分裂，然后去计算每个子数据集里面的相似性，然后不断的分裂，把数据集分为很多的类别
凝聚的层次聚类： AGNES
把一个个样本，不断的自底向上的聚类，然后一层一层的来聚，最后聚成一个完整的数据集，这种用的更多一些。
如果我们只关心结果的话，那么在某一时刻是要停止聚类的，在一些数据集中做层次聚类是合适的，包含层次的数据集！ 地域！
如果两个样本，可以很好的度量距离，如果已经聚了一层，如何度量簇之间的相似性
最小距离：两个簇中，最接近样本的距离，城市和城市边界最短距离，成链状一条直线了
最大距离：两个簇中，最远的样本的距离，某一个簇存在异常值就很麻烦，簇本身比较狭长
平均距离：
两两样本距离的平均
两两样本距离的平方和
5、密度聚类
统计样本周边的密度，把密度给定一个阈值，不断的把样本添加到最近的簇
人口密度，根据密度，聚类出城市
解决类似圆形的K-Means聚类的缺点，密度聚类缺点计算复杂度大，空间索引来降低计算时间，降低查找速度。
6、DBSCAN
Density Based Spatial Clustering of Application with Noise
对象邻域：给定对象的半径内的区域
如果给定5为阈值，那么q是7， p是3， 那么q是核心对象
而p是在q这个范围（制定一个半径）内的，那么说q到p是核心密度可达
q密度可达p1， p1密度可达p， 那么q到p是密度可达。
密度可达
从o点能密度可达q，也能密度可达p
P和q叫密度相连
簇就是密度相连的最大的点的集合
即最大的密度相连构成的集合就是簇
如何一个点不是核心对象，也不能被别的点密度可达，就是噪声。
代码案例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn.datasets as ds
import matplotlib.colors
from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def expand(a, b):
d = (b - a) * 0.1
return a-d, b+d
if __name__ == '__main__':
N = 1000
centers = [[1, 2], [-1, -1], [1, -1], [-1, 1]]
# make_blobs模拟生成聚类的数据 centers：给定的中心点，根据中心点模拟生成数据 cluster_std生成数据的方差
data, y = ds.make_blobs(N, n_features=2, centers=centers, cluster_std=[0.5, 0.25, 0.7, 0.5], random_state=0)
# StandardScaler 做归一化的：先做均值归一化，再说方差归一化
data = StandardScaler().fit_transform(data)
# 数据的参数 (epsilon, min_sample)第一个是r，第二个是阈值
params = ((0.2, 5), (0.2, 10), (0.2, 15), (0.3, 5), (0.3, 10), (0.3, 15))
plt.figure(figsize=(12, 8), facecolor='w')
# plt.suptitle('DBSCAN Clusting', fontsize=20)
for i in range(6):
eps, min_samples = params[i]
model = DBSCAN(eps=eps, min_samples=min_samples)
model.fit(data)
y_hat = model.labels_
# print(y_hat)
core_indices = np.zeros_like(y_hat, dtype=bool)
core_indices[model.core_sample_indices_] = True
# print(core_indices)
y_unique = np.unique(y_hat)
# print(y_hat)
# 假设有离群点 n_cluster - 1
n_clusters = y_unique.size - (1 if -1 in y_hat else 0)
print(y_unique, "聚类簇的个数为：", n_clusters)
plt.subplot(2, 3, i+1)
# 谱： 提取更好的特征（特征提取的作用）
clrs = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 0.8, y_unique.size))
# print(clrs)
for k, clr in zip(y_unique, clrs):
cur = (y_hat == k)
if k == -1:
plt.scatter(data[cur, 0], data[cur, 1], s=20)
continue
# 把我们分类好的类别，一个点一个点画出来（画离群点）
plt.scatter(data[cur, 0], data[cur, 1], s=30, c=clr, edgecolors='k')
# 把我们分类好的类别，一个点一个点画出来（画非离群点）
plt.scatter(data[cur & core_indices][:, 0], data[cur & core_indices][:, 1], s=60, c=clr, marker='o', edgecolors='k')
x1_min, x2_min = np.min(data, axis=0)
x1_max, x2_max = np.max(data, axis=0)
x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)
x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)
plt.xlim((x1_min, x1_max))
plt.ylim((x2_min, x2_max))
plt.grid(True)
plt.title(u'epsilon = %.1f m = %d CA:%d' % (eps, min_samples, n_clusters), fontsize=16)
plt.tight_layout()
plt.subplots_adjust(top=0.9)
plt.show()效果图：
r(半径)=0.1 m(阈值)=5,3,2
一个点在半径为0.1的范围内，如果其他的点的数量没有到m，那么它就不能当成一个核心对象。
不同的r半径，太大会都聚集在一起。
7、谱和谱聚类
谱： Y = A*X, 矩阵X乘以A等于对矩阵X做了空间线性变换，那么Y=map[X], A就是map这个线性算子，它的所有特征值的全体，称之为方阵的谱
方阵的谱半径为最大的特征值
谱聚类是一种基于图论的聚类方式，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据进行聚类的目的。
谱聚类：
解决区域重叠的问题，密度聚类对应区域重叠问题不太好办
我们有一堆样本，可以构建成全连接图，并且两两样本之间总是可以去求相似度的
两两样本之间构建邻接矩阵来表示图
邻接矩阵上面的值，是用高斯相似度计算得来
然后对角线都是0，可以根据告诉相似度看出来，这样有了矩阵W
除了对角线都有相似度的值，然后把它们按行或列加和得对角阵D
L=D-W， 这样的L矩阵叫做Laplace矩阵。
L矩阵是N*N的，N是样本个数，实数形成的对数矩阵，求特征值和特征向量
Lui = lambda iui, lambda是特征值，ui是特征向量，一组lambda有从大到小可以排序
每个对应的lambda都对应一个ui，每个ui是一个个的列向量，比如u11, u21, u31, un1
根据排序默认从小到大，逆序之后我们就取前面的几个ui列向量就可以了，其实这是一种降维
然后我们的前面的这几个列向量ui就成了新的对应每个样本的几个重要的特征
最后我们用K-Means聚类算法对样本进行聚类就好了
谱聚类和PCA的关系
就是Laplace矩阵做了一个主成分分析PCA，然后做K均值聚类。
8、PCA降维
盲目减少指标会损失很多信息
容易产生错误的结论
各变量间存在一定的相关关系
先均值归一化，映射到原点
协方差矩阵
协方差（Covariance）
用于衡量两个变量的总体误差
