牛顿插值法是一种重要的插值方法，与拉格朗日插值法在同阶时产生的多项式在化简以后是一样的，余项也是一样的，因此两者只是写法形式不同而已。在针对变化的数据时，其各自独特的写法形式给其适合的应用场景带来了区别。牛顿插值法适用于被插的点不断增多，而且可以很好的复用以前的计算结果。
牛顿(Newton)插值
Newton 公式中有一些差商、差分的概念及性质我们可以先了解下。
插商
定义
设有函数f (x), x0 , x1, x2 ,...,为一系列互不相等的点，称
为f (x)关于点 xi , xj 一阶差商(也称均差)，记为 f[xi ,xj ] ，即
称一阶差商的差商
为 f (x)关于点xi , xj ,xk 的二阶差商，记为 f[xi ,xj , xk] 。一般地，称
为 f (x)关于点 x0 ,x1,...,xk 的k 阶差商，记为
容易证明，差商具有下述性质：
Newton 插值公式
线性插值公式可表成
称为一次 Newton 插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得
将以上各式分别乘以
然后相加并消去两边相等的部分，即得
记
显然，Nn(x) 是至多n次的多项式，且满足插值条件，因而它是 f (x)的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为 Newton 插值多项式。Rn(x) 称为 Newton 插值余项。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
因而便于递推运算。而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的，即
由此可得差商与导数的关系
差分
当节点等距时，即相邻两个节点之差(称为步长)为常数，Newton 插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表示。
定义
设有等距节点 ( 0,1, , ) xk = x0 + kh (k = 0,1，..., n) ，步长 h 为常数， f k = f( xk) 。称相邻两个节点 xk,xk+1 处的函数值的增量 f k +1 − f( k = 0,1,..., n−1)为函数 f (x) 在 点 k x 处以h 为步长的一阶差分，记为 Δfk ，即
称为 f (x) 在 xk 处以 h 为步长的中心差分。一般地， m 阶向后差分与 m 阶中心差分公式为
差分具有以下性质：
(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合，例如
(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下：
等距节点插值公式
如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。设已知节点
则有
上式称为Newton 向前插值公式。
牛顿插值实例
已知节点 0, 2, 3, 5 对应的函数值为 1, 3, 2, 5，构造三次Newton 插值多项式，当 x = 2.5 时，计算 Newton 多项式插值结果。
解：
由前面计算的差商值，我们很容易写出三次 Newton 插值多项式如下：
当 x = 2.5 时，Newton 多项式插值结果为：
输出结果：
下面简单给大家介绍一些其他插值算法
分段线性插值
插值多项式的振荡
用Lagrange 插值多项式Ln (x) 近似f(x)(a ≤ x ≤ b)，虽然随着节点个数的增加，Ln 的次数n 变大，多数情况下误差| Rn (x) |会变小。
但是n 增大时，Ln (x) 的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当n → ∞ ，在[a,b]内并不能保证Ln (x)处处收敛于 f (x)。Runge 给出了一个有名的例子：
对于较大的| x |，随着n 的增大，Ln (x) 振荡越来越大，事实上可以证明，仅当| x |≤ 3.63 时，才有
而在此区间外，Ln (x)是发散的。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
分段线性插值函数
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作
，它满足In (xi ) = yi ，且
在每个小区间[xi , xi+1 ]上是线性函数(i = 0,1,...,n) 。
可表示为
用
计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。但n 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。
用Matlab 实现分段线性插值
用Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
'nearest' 最近项插值
'linear' 线性插值
'spline' 逐段3 次样条插值
'cubic' 保凹凸性3 次插值
所有的插值方法要求x0 是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
埃尔米特(Hermite)插值
Hermite 插值多项式如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。
设已知函数y = f (x) 在n +1个互异节点x0 ,x1 ,..., xi上的函数值yi = f (xi ),(i = 0,1,L,n) 和导数值
要求一个至多2n +1次的多项式H(x)，使得
满足上述条件的多项式H(x)称为Hermite 插值多项式。
Hermite 插值多项式为
用Matlab 实现Hermite 插值
Matlab 中没有现成的Hermite 插值函数，必须编写一个M 文件实现插值。
设n 个节点的数据以数组x0(已知点的横坐标)，y0 (函数值)，y1(导数值) 输入(注意Matlat 的数组下标从1 开始)，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m 个插值。编写一个名为hermite.m 的M 文件：
function y=hermite(x0,y0,y1,x); n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end
y(k)=yy;
end
