以下内容参考CS231n。
上一篇关于分类器的文章，使用的是KNN分类器，KNN分类有两个主要的缺点：
- 空间上，需要存储所有的训练数据用于比较。
- 时间上，每次分类操作，需要和所有训练数据比较。
本文开始线性分类器的学习。
和KNN相比，线性分类器才算得上真正具有实用价值的分类器，也是后面神经网络和卷积神经网络的基础。
线性分类器中包括几个非常重要的部分：
- 权重矩阵W，偏差向量b
- 评分函数
- 损失函数
- 正则化
- 最优化
权重矩阵W （Weights）
- 可以理解为所有分类对应的模版向量w组成的矩阵，模版就是分类期望成为的样子。
- 训练数据可以理解为是N维空间中的一个向量v，v和W中每个模版做点积，点积越大，表示两个向量的夹角越小，也就越接近。
- 点积最大的模版w，就是v所对应的分类。
- W不是一直不变的。它会随着对损失函数最优化的过程，不断的调整。
偏差向量b （bias vector）
b是不是可以理解为，如果不设置b，那所有的分类线都要通过原点，那其实就起不到分类的作用了？
参考下图？三条线都通过原点，是无法对数据做分类的。
W和b分别对直线做旋转和平移。
评分函数（score function）
之所以是线性分类器，就是因为评分函数使用线性方程计算分数。后面的神经网络会对线性函数做非线性处理。
下图直观的展示了分类器的线性。
损失函数 （loss function）
如何判断当前的W和b是否合适，是否能够输出准确的分类？
通过损失函数，就可以计算预测的分类和实际分类之间的差异。通过不断减小损失函数的值，也就是减少差异，就可以得到对应的W和b。
Python实现
数据预处理
# 每行均值
mean_image = np.mean(X_train, axis=0)
# second: subtract the mean image from train and test data
# 零均值化，中心化，使数据分布在原点周围，可以加快训练的收敛速度
X_train -= mean_image
X_val -= mean_image
X_test -= mean_image
X_dev -= mean_image处理b的技巧
# third: append the bias dimension of ones (i.e. bias trick) so that our SVM
# only has to worry about optimizing a single weight matrix W.
# 技巧，将bias加到矩阵中，作为最后一列，直接参与矩阵运算。不用单独计算。
# hstack，水平地把数组的列组合起来
# 每行后面 加一个元素1
X_train = np.hstack([X_train, np.ones((X_train.shape[0], 1))])
X_val = np.hstack([X_val, np.ones((X_val.shape[0], 1))])
X_test = np.hstack([X_test, np.ones((X_test.shape[0], 1))])
X_dev = np.hstack([X_dev, np.ones((X_dev.shape[0], 1))])计算损失函数
使用多类支持向量机作为损失函数。 SVM loss function,
,
全体训练集上的平均损失值：
为了体现向量计算的高效，这里给出了非向量计算作为对比。
非向量版：
1 # 多类支持向量机损失函数
2 # SVM的损失函数想要SVM在正确分类上的得分始终比不正确分类上的得分高出一个边界值Delta
3 # max(0, s1 - s2 + delta)
4 # s1,错误分类， s2，正确分类
5 def svm_loss_naive(W, X, y, reg):
6
7 # N, 500
8 # D, 3073
9 # C, 10
10 # W (3073, 10), 用（1，3073）左乘W，得到（1， 10）
11 # X(500, 3073), y(500,)
12
13 # 对W求导。 后面求使损失函数L减小的最快的w，也就是梯度下降最快的方向。
14 dW = np.zeros(W.shape) # initialize the gradient as zero
15
16 # compute the loss and the gradient
17 num_classes = W.shape[1] # 10
18 num_train = X.shape[0] # 500
19 loss = 0.0
20 for i in range(num_train):
21 # 分数 = 点积
22 # 向量(1,D)和矩阵(D,C)的点积 = (1,C) (c,)
23 # scores中的一行，表示所有类的打分
24 scores = X[i].dot(W)
25
26 # y[i]，对的分类
27 correct_class_score = scores[y[i]]
28 for j in range(num_classes):
29 # 相等的分类不做处理
30 if j == y[i]:
31 continue
32 # 用其他分类的得分 - 最终分类的得分 + 1
33 margin = scores[j] - correct_class_score + 1 # note delta = 1
34
35 if margin > 0:
36 loss += margin
37
38 # （错的-对的），所以第一个是-X，第二个是X
39 # 500张图片的dW和，后面再除个500
40 dW[ :, y[i] ] += -X[ i, : ]
41 dW[ :, j ] += X[ i, : ]
42
43 loss /= num_train
44 dW /= num_train
45
46 # Add regularization to the loss.
47 # 正则化，
48 # L2正则化
49 loss += reg * np.sum(W * W)
50
51 # 这里为什么不是2W
52 dW += reg * W
53
54 return loss, dW向量版：
def svm_loss_vectorized(W, X, y, reg):
loss = 0.0
dW = np.zeros(W.shape) # initialize the gradient as zero
num_classes = W.shape[1]
num_train = X.shape[0]
scores = X.dot(W) # (500, 10)
correct_scores = scores[ np.arange(num_train), y] #(500, ), 取( 0～500， y[0~500])
correct_scores = np.tile(correct_scores.reshape(num_train, 1) , (1, num_classes)) # (500, 10), 复制出10列，一行里的值是相同的
margin = scores - correct_scores + 1
margin[np.arange(num_train), y] = 0 # 正确的分类，不考虑
margin[margin < 0] = 0 # 小于0的置为0，不考虑
loss = np.sum(margin) / num_train
loss += reg * np.sum(W * W)
margin[ margin > 0 ] = 1 # 大于0的是造成损失的权重
row_sum = np.sum( margin, axis = 1 ) # 对每行取和， dW[ :, y[i] ] += -X[ i, : ]， 参考非向量的写法，每次遍历里，正确的分类都有被减一次
margin[np.arange( num_train ), y] = -row_sum # 正确分类是负的，-X
# 点积
dW += np.dot(X.T, margin) / num_train + reg * W
return loss, dW随机初始化W，计算loss和gradient
# randn，高斯分布（正态分布）随机数
# 初始权重采用小一点的值
W = np.random.randn(3073, 10) * 0.0001
# grad，analytic gradient
loss, grad = svm_loss_naive(W, X_dev, y_dev, 0.000005)
检查梯度值的正确性。用数值梯度值（numerical gradient）和分析梯度值（analytic gradient）比较。
检查梯度方法：
def grad_check_sparse(f, x, analytic_grad, num_checks=10, h=1e-5):
for i in range(num_checks):
# 随机取一个位置
ix = tuple([randrange(m) for m in x.shape])
oldval = x[ix]
x[ix] = oldval + h # increment by h
fxph = f(x) # evaluate f(x + h)
x[ix] = oldval - h # increment by h # decrement ？
fxmh = f(x) # evaluate f(x - h)
x[ix] = oldval # reset
# 对称差分
grad_numerical = (fxph - fxmh) / (2 * h)
grad_analytic = analytic_grad[ix]
# 相对误差 ？？
rel_error = abs(grad_numerical - grad_analytic) / (abs(grad_numerical) + abs(grad_analytic))比较分析梯度和数值梯度：
# 检查计算的梯度值是否正确
# Compute the loss and its gradient at W.
loss, grad = svm_loss_naive(W, X_dev, y_dev, 0.0)
# Numerically compute the gradient along several randomly chosen dimensions, and
# compare them with your analytically computed gradient. The numbers should match
# almost exactly along all dimensions.
from cs231n.gradient_check import grad_check_sparse
f = lambda w: svm_loss_naive(w, X_dev, y_dev, 0.0)[0] # 取loss
grad_numerical = grad_check_sparse(f, W, grad)
# do the gradient check once again with regularization turned on
# you didn't forget the regularization gradient did you?
loss, grad = svm_loss_naive(W, X_dev, y_dev, 5e1)
f = lambda w: svm_loss_naive(w, X_dev, y_dev, 5e1)[0]
grad_numerical = grad_check_sparse(f, W, grad)
创建一个线性分类器类
最优化方法使用 随机梯度下降法（SGD，Stochastic Gradient Descent）。
class LinearClassifier(object):
def __init__(self):
self.W = None
# 训练，也是最优化，调参的过程。
def train(self, X, y, learning_rate=1e-3, reg=1e-5, num_iters=100,
batch_size=200, verbose=False):
"""
Train this linear classifier using stochastic gradient descent.
Inputs:
- X: A numpy array of shape (N, D) containing training data; there are N
training samples each of dimension D.
- y: A numpy array of shape (N,) containing training labels; y[i] = c
means that X[i] has label 0 <= c < C for C classes. C是所有类别吧？
- learning_rate: (float) learning rate for optimization.
- reg: (float) regularization strength.
- num_iters: (integer) number of steps to take when optimizing
- batch_size: (integer) number of training examples to use at each step.
- verbose: (boolean) If true, print progress during optimization.
Outputs:
A list containing the value of the loss function at each training iteration.
"""
num_train, dim = X.shape
num_classes = np.max(y) + 1 # assume y takes values 0...K-1 where K is number of classes
if self.W is None:
self.W = 0.001 * np.random.randn(dim, num_classes)
loss_history = []
for it in range(num_iters):
X_batch = None
y_batch = None
# 默认是replacement = true， 随机出来的数，还要再放回到样本池中
randomRows = np.random.choice(num_train, batch_size)
X_batch = X[randomRows]
y_batch = y[randomRows]
# evaluate loss and gradient
loss, grad = self.loss(X_batch, y_batch, reg)
loss_history.append(loss)
# perform parameter update
self.W += -learning_rate * grad
if verbose and it % 100 == 0:
print('iteration %d / %d: loss %f' % (it, num_iters, loss))
return loss_history
# 预测
def predict(self, X):
y_pred = np.zeros(X.shape[0])
y_pred = np.argmax( np.dot( X, self.W ), axis=1 )
return y_pred
# 计算损失值
def loss(self, X_batch, y_batch, reg):
pass继承基类LinearClassifier，定义SVM分类器
class LinearSVM(LinearClassifier):
""" A subclass that uses the Multiclass SVM loss function """
def loss(self, X_batch, y_batch, reg):
return svm_loss_vectorized(self.W, X_batch, y_batch, reg)
每次随机取出200个数据，训练1500次。 下图显示，损失值随着训练的迭代，追减降低。
对于CIFAR-10的训练集和验证集的准确度如下。
training accuracy: 0.377939
validation accuracy: 0.383000
原文中还对学习率和Regulariztion Strength（不知道如何翻译好）做了各种调整。下面是各种组合的准确率统计。
颜色越深，表示准确率越高。可以看出来较低的学习率，训练的准确率越高。但是学习率越低，训练的时间也就越长。这是一个需要权衡的地方。
下图是最终训练出来的W所对应的图片。从图中可以看出最终的W，通过5万张图的训练， 提取出了具有指定分类的特征。
python相关：
- np.mean(a, axis=None)，
- 计算平均值。 axis=0，对整列计算均值。
- np.hstack(tup)，
- 在水平方向上合并
- np.vstack(tup),
- 在竖直方向上合并
- np.stack(arrays, axis=0),
- 增加了一个维度，而且合并的两个的形状必须一样。
- np.tile(A, reps)，
- A是被重复的对象，reps是在不同维度上重复的次数
- np.random.randn，
- [0,1)范围内的随机数，满足高斯分布
- tuple([randrange(m) for m in x.shape])，
- 随机选择x中的任意位置
- f = lambda w: svm_loss_naive(w, X_dev, y_dev, 0.0)[0]，
- lambda函数，w是参数，：后面是函数体。
- np.random.choice(a, size=None, replace=True, p=None)，
- 从a中随机选择size个数。replace=True，表示随机取出的数，还要放回去。
- np.max(a, axis=None, out=None, keepdims=np._NoValue)，
- 取最大值，也可以取每行或者每列中的最大值。
- np.argmax，
- 和np.max类似，区别是返回的是索引。
Reference：
1、知乎CS231n中文版，https://zhuanlan.zhihu.com/p/20918580?refer=intelligentunit
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