目录
前言
问题二模型的建立与求解
1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解
平稳性检验
的时间序列预测模型的建立与求解
模型的检验
对于的时间序列预测模型的建立与求解
模型的检验
前言
SPSS软件的数据分析与GDP和人口老龄化的预测
下图是第七次人口普查的统计报告，显示1953年到2020年间7次人口普查的人口年龄段分布，下表是每次人口普查GDP情况，请用SPSS软件进行数据分析，完成以下题目：
1.分析人口老龄化与GDP增长是否有联系，如果有，请拿出数据进行相关说明；如果没有，请给出理由（65岁以上视为老龄人）。
2.请你根据图和表中所给数据预测第八次人口普查时，中国的人口老龄化情况，并对GDP进行预测（以每次普查为单位）。
每次人口普查的GDP 单位：美元 | |
年份 | GDP |
1953 | 314.86亿 |
1964 | 597.08亿 |
1982 | 2050.9亿 |
1990 | 3608.58亿 |
2000 | 1.21万亿 |
2010 | 6.09万亿 |
2020 | 14.72万亿 |
数据来源：国家统计局
- 模型的建立与求解
- 问题一模型的建立与求解
以GDP为横坐标，人口老龄化比重为纵坐标，画出散点图：
图一 GDP与人口老龄化比重的散点图
利用spss软件分析人口老龄化，即65岁以上所占人口比例与GDP之间的相关性，得出以下结果：
相关性 | ||||
人口老龄化比重 | GDP | |||
肯德尔 tau_b | 人口老龄化比重 | 相关系数 | 1.000 | .905** |
N | 7 | 7 | ||
GDP | 相关系数 | .905** | 1.000 | |
N | 7 | 7 | ||
斯皮尔曼 Rho | 人口老龄化比重 | 相关系数 | 1.000 | .964** |
N | 7 | 7 | ||
GDP | 相关系数 | .964** | 1.000 | |
N | 7 | 7 | ||
相关性显著 | ||||
可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间相关性显著
- 假设二者之间符合线性回归模型
即二者之间满足关系式：
利用spss软件进行数据分析，求出系数值：
系数a | ||||||
模型 | 未标准化系数 | 标准化系数 | t | 显著性 | ||
B | 标准错误 | Beta | ||||
1 | (常量) | 4.872 | .415 | 11.732 | .000 | |
GDP（万亿美元） | .603 | .069 | .969 | 8.774 | .000 | |
a. 因变量：人口老龄化比重 | ||||||
可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间的函数关系为：
画出回归曲线：
图二 线性拟合结果
- 假设二者之间符合非线性回归模型
利用matlab拟合工具箱，拟合出最佳曲线:
图三 非线性拟合结果
得出模型表达式为：
进行模型检验：
表一 模型检验结果
稳态误差 | 多重测定系数 | 拟合系数 | 剩余标准差 |
2.03 | 0.9712 | 0.9568 | 0.7125 |
因此可认为拟合效果较好。
问题二模型的建立与求解
1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解
列出各年份对应的人口老龄化比重和GDP如下表所示：
表二 各年份对应的人口老龄化比重和GDP
年份 | 人口老龄化比重 | GDP |
1953.00 | 4.41 | 0.03 |
1964.00 | 3.56 | 0.06 |
1982.00 | 4.91 | 0.21 |
1990.00 | 5.57 | 0.36 |
2000.00 | 6.96 | 1.21 |
2010.00 | 8.87 | 6.09 |
2020.00 | 13.50 | 14.72 |
平稳性检验
画出人口老龄化比重和GDP对应的时序图进行初步检验：
图四 时序图
观察时序推测两项时序图均为非平稳序列，进一步进行Daniel检验.
Spearman相关系数：
记人口老龄化比重和GDP对应的时间序列分别为
对于显著水平0.05，由Spearman相关系数计算公式可得两个时间序列均为非平稳序列，因此构造差分序列：
画出各一阶差分方程所对应的散点图：
图五 人口老龄化对应时序图
图六 GDP对应时序图
由散点图可知，序列
较为平稳，而
所在的序列无论进行多少次差分均无法平稳，故对于无法使用时间序列求解
的时间序列预测模型的建立与求解
建立如下的ARIMA模型对
进行预测：
利用表中数据，采用最小二乘法计算得出
的预测模型为：
则得出第八次人口普查老龄化比重的预估值为：14.41.
模型的检验
绘出预测模型中的数据与实际数据进行对比：
图七 人口老龄化预测模型结果
由图可知该模型准确率较高，结果具有可信度
对于的
时间序列预测模型的建立与求解
由于无法直接对
使用时间序列求解，但所建模型求解精度较高，故可用第一题拟合方程对进行求解：
代入
，可得出
的表达式：
得出第八次人口普查的GDP的预估值为18.896（万亿美元）
模型的检验
图八 GDP预测结果
由图可知由于GDP增长速度逐年增加，国家对于老龄化问题处理的更好，故该结果可信度并不高。即该模型是存在缺陷的
