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数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个象素中，确定最佳逼近该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个象素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。
（1）数值微分(DDA)法
设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率为k=(y1-y0)/(x1-x0)。要在显示器显示L，必须确定最佳逼近L的像素集合。我们从L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个象素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取象素点(x,round(y))作为当前点的坐标。
因为： yi+1 = kxi+1+b = kxi+b+kDx = yi+kDx
所以，当Dx =1; yi+1 = yi+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA画线算法程序。
DDA画线算法程序：
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)
{
int x；
float dx, dy, y, k；
dx = x1-x0；dy=y1-y0；
k=dy/dx,；y=y0；
for (x=x0；x< x1；x++){
drawpixel (x, int(y+0.5), color)；
y=y+k；
}
}注意：我们这里用整型变量color表示象素的颜色和灰度。
举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
x int(y+0.5) y+0.5
0 0 0
1 0 0.4+0.5
2 1 0.8+0.5
3 1 1.2+0.5
4 2 1.6+0.5
图2.1.1 直线段的扫描转换
注意：上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当 |k| > 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。
（2）中点画线法
假定直线斜率k在0~1之间，当前象素点为（xp,yp），则下一个象素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或 P2（xp+1,yp+1）。若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2 应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。
图2.1.2 中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图
下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式:
d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
所以：
当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个象素；
当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象素；
当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；
注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率：
若当前象素处于d>=0情况，则取正右方象素P1(xp+1, yp),要判下一个象素位置，应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量为a。
若d<0时，则取右上方象素P2(xp+1, yp+1)。要判断再下一象素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因 F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。
中点画线算法程序：
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)
{ int a, b, d1, d2, d, x, y；
a=y0-y1； b=x1-x0；d=2*a+b；
d1=2*a；d2=2* (a+b)；
x=x0；y=y0；
drawpixel(x, y, color);
while (x<x1){
if (d<0) {x++；y++； d+=d2; }
else {x++； d+=d1;}
drawpixel (x, y, color);
} /* while */
} /* mid PointLine */
举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6
x y d
0 0 1
1 0 -3
2 1 3
3 1 -1
4 2 5
5 2 15
图2.1.3 中点画线法
（3）Bresenham算法
Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个象素点。
算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。
如图2.1.4所示，设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi，其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi＋1，而行坐标要么为yi，要么递增1为yi＋1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦 d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而当d<0.5时，更接近于右方象素(xi＋1，yi)。为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当e≥0时，取当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而当e<0时，取(xi，yi)右方象素(xi＋1，yi)。
图2.1.4 Bresenham算法所用误差项的几何含义
Bresenham画线算法程序：
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)
{
int x, y, dx, dy；
float k, e;
dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx；
e=-0.5； x=x0,；y=y0；
for (i=0；i<dx；i++)
{ drawpixel (x, y, color);
x=x+1；e=e+k;
if (e >= 0) { y++； e=e-1;}
}
}
举例：用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
x y e
0 0 -0.5
1 0 -0.1
2 1 -0.7
3 1 -0.3
4 2 -0.9
5 2 -0.5
图2.1.5 Bresenham算法
上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：2*e*dx。
改进的Bresenham画线算法程序：
void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)
{
int x, y, dx, dy,e;
dx = x1-x0,；dy = y1- y0,；e=-dx;
x=x0； y=y0;
for (i=0; i<dx; i++){
drawpixel (x, y, color);
x++； e=e+2*dy;
if (e >= 0) { y++; e=e-2*dx;}
}
}
