最近，我遇到了一个这样的应用问题。在三维空间存在N个球体，球体间可能会存在相离、相切、相交和包含的关系， 现给出球体的球心坐标和对应的半径，如何求解这N个球体在三维空间所占的体积？
对于最一般的情况，即计算两个球体在空间中所占的体积，经过查阅资料，我发现是有公式可以直接计算两个球体相交区域（公共部分）的体积的，那么能否把这个公式推广到N个球体的情况呢？经过一番思考与推导，我发现是很困难的，因为对于多个球体，不仅两个球体间会相交，存在公共部分，而且三个球体间也可能存在公共部分，这个时候就很难简单地利用公式通过累加球体的体积再减去公共部分的体积来计算了。
那应该如何求解这个问题呢？困扰了几个小时后，我想到了蒙特卡洛方法。蒲丰投针计算圆周率可以说是利用随机方法最经典的一个应用，像投针实验一样，通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法被称为蒙特卡洛方法。对于计算N个球体在空间中所占的体积，我们可以这样解决，构建一个包含所有球体的长方体，在长方体空间中随机生成q个点，利用球体方程统计落在球体中的随机点的个数p，那么所有球体所占的体积就是p/q倍的长方体的体积。
两个球体所占体积的公式
假设空间中存在两个球体，半径分别为
和
，且
，球心间的距离为
。存在以下三种情况：
1）
>=
，两球不相交，相交部分的体积为0，所占的体积为
；
2）
,小球在大球里面，相交部分的体积为
，所占的体积为
；
3）
<
<
，两球相交，
设
则相交部分的体积：
这种情况，两个球体所占的体积为
关于这个公式的推导，感兴趣的同学可以查阅本文的参考资料。我们可以利用这个公式来验证基于蒙特卡洛方法求解N个球体所占体积的程序的正确性。
代码
main.m，计算N个球体所占体积的主程序，测试数据的结果已经证明了程序的正确性。
%% 利用蒙特卡洛方法求解N个球体相交后所占的体积
% % 此为测试数据，用以验证程序的正确性，精确值是6.7394
% sc = [0, 0, 0; 0.5, 0.5, 0.5]; % 球体的求心坐标
% r =[1; 1]; % 球体的半径
% V = CalcNSphereVolume(sc,r, 50000); % 体积
% N = length(r); % 球体的个数
% 计算5个球体所占的体积
sc = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;10 11 12; 13 14 15]; % 球体的球心坐标
r = [1; 1; 1; 5; 5]; % 对应球体的半径
V = CalcNSphereVolume(sc,r, 50000); % 体积
N = length(r);
str1 = sprintf('%d个球体相交后所占的体积是%f.',N, V);
disp(str1);
函数CalcNSphereVolume.m，实现计算空间中N个球体所占的体积。
function V = CalcNSphereVolume(sc,r, randomPtNum)
% 函数V = CalcNSphereVolume(sc,r, randomPtNum)利用蒙特卡洛方法求N个球体
% 所占的体积.
%
% 参数说明
% 输入参数：
% sc: N个球体的球心坐标，是一N*3的矩阵，第一列是X，第二列是Y，第三
% 列是Z
% r: N个球体对应的半径
% randomPtNum: 随机在空间生成的点的个数,建议至少为10000
%
% 输出参数：
% V: N个球体相交后所占的体积
% 参数判断
if nargin==2
randomPtNum = 10000;
end
N = length(r); % 球体的个数
% 确定生成随机点的空间范围，是一包含所有球体的长方体,即任何球体的球面
% 均不与长方体面相切
xl = min((sc(:,1)-r(:)));
xl = xl-0.01*abs(xl);
xr = max((sc(:,1)+r(:)));
xr = xr+0.01*abs(xr);
yl = min((sc(:,2)-r(:)));
yl = yl-0.01*abs(yl);
yr = max((sc(:,2)+r(:)));
yr = yr+0.01*abs(yr);
zl = min((sc(:,3)-r(:)));
zl = zl-0.01*abs(zl);
zr = max((sc(:,3)+r(:)));
zr = zr+0.01*abs(zr);
% 随机生成randomPtNum个点
k = 0;
pt = zeros(1,3);
Xpt = rand(1, randomPtNum);
Ypt = rand(1, randomPtNum);
Zpt = rand(1, randomPtNum);
% 获得属于球体的随机点的个数
for i=1:randomPtNum
pt(1) = xl+(xr-xl)*Xpt(i); % 把随机点的X坐标转换至长方体的X坐标范围内
pt(2) = yl+(yr-yl)*Ypt(i); % 把随机点的Y坐标转换至长方体的Y坐标范围内
pt(3) = zl+(zr-zl)*Zpt(i); % 把随机点的Z坐标转换至长方体的Z坐标范围内
% 遍历所有球体
for j=1:N
r_square = r(j)*r(j);
distance_square = (pt(1)-sc(j,1))^2+(pt(2)-sc(j,2))^2+(pt(3)-sc(j,3))^2;
% 判断随机点是否属于球体
if distance_square<=r_square
k = k+1; % 属于球体，k自增1，并跳出球体循环
break;
end
end
end
V_cuboid = (xr-xl)*(yr-yl)*(zr-zl); % 长方体的体积
V = (k/randomPtNum)*V_cuboid; % 得到N个球体所占的体积
end
PS：完整的代码，已经整理到我的百度企业云盘中，感兴趣的同学可以从下方链接下载（有效期7天）。
蒙特卡洛方法计算N个球体的体积eyun.baidu.com
