将一个大集合拆分成多个小集合 java lists方法 集合的分拆

Bell数

Bell数定义

递推公式

第二类Stirling数的含义是：S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。很明显，每一个Bell是对应的第二类Stirling数之和。

Bell数的指数生成函数是：

Bell三角形（类似于杨辉三角形）

#include <stdio.h>
//贝尔三角形程序
void belltriangle()
{
    int n, i, j, temp, temp2;
    scanf("%d", &n);
    int *bell = new int[n];
    bell[0] = 1;
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        temp = bell[0];
        bell[0] = bell[i - 1];
        for (j = 1; j <= i; j++)
        {
             temp2 = bell[j];
             bell[j] = temp + bell[j - 1];
             temp = temp2;
        }
        for (j = 0; j <= i; j++)
            printf("%d ", bell[j]);
        printf("\n");
    }
}

int main(void)
{
    belltriangle();
    return 0;
}

Bell数两个重要的同余性质

其中p是不大于100的素数，可以通过上面的性质来计算Bell数模小于100的素数值。

Bell数模素数p的周期为：

Stirling数

在数学中，斯特林数（Stirling number）用于解决各种数学分析和组合数学问题，斯特林数是两组不同的数，均是18世纪由詹姆斯·斯特林（James Stirling（mathematician））引入并以其命名，以第一类斯特林数（Stirling numbers of the first kind）和第二类斯特林数（Stirling numbers of thesecond kind）的称呼区分。此外，有时候也将拉赫数（Lah number）称为第三类斯特林数。

第一类斯特林数

• 定义



• 递推关系式



• 第一类斯特林数表



• 简单性质

第二类斯特林数

• 定义



• 递推关系式



• 第二类斯特林数表



• 简单性质



• 其他性质

两类之间的关系

拉赫数

• 定义



• 递推关系式



• 拉赫数表



• 简单性质



• 其他性质

三类之间的关系

集合划分

集合的分划和第二类Stirling数

第二类Stirling数的性质

计算n个集合划分为非空子集的个数

int gatherRecursion(int n, int m)
{
	if (m == 1 || m == n)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return m * gatherRecursion(n - 1, m) + gatherRecursion(n - 1, m - 1);
	}
}
int main(void)
{
	int gatherElement = 4;
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= gatherElement; i++)
	{
		int result = gatherRecursion(gatherElement, i);
		sum = sum + result;
		printf("gatherNum(%d, %d) = %d\n", gatherElement, i, result);
	}
	printf("集合%d的所有划分数为： %d\n", gatherElement, sum);
	system("pause");
	return 0;
}

n个集合划分为非空子集的所有划分方式

• C++版本

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
void printarr(int tab[], int n);
void part_gen(int tab[], int n);
bool check(int tab[], int n);
fstream file;
int main() {
	cout << "Program that counts possible partitions of a set" << endl;
	int n;
	cout << "\nPlease give n: ";
	cin >> n;
	int *tab = new int[n];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		tab[i] = 1;
	}
	file.open("MP_L2.txt", fstream::out);
	printarr(tab, n);
	int counter = 1;
	while (tab[n - 1] != n) {
		part_gen(tab, n);
		printarr(tab, n);
		counter++;
	}
	cout << endl <<"There are "<< counter<<" possible partitions of a set"<<endl;
	file<< endl << "There are " << counter << " possible partitions of a set" << endl;
	delete[]tab;
	file.close();
	system("pause");
	return 0;
}
void part_gen(int tab[], int n)
{
	if (check(tab, n)) {
		tab[n - 1]++;
	}
	else
	{
		part_gen(tab, n - 1);
		for (int i = n - 1; i < n; i++)
			tab[i] = 1;

	}

}
void printarr(int tab[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << tab[i] << " ";
		file << tab[i] << " ";
	}
	file << "\n";
	cout << endl;
}
bool check(int tab[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		if (tab[i] == tab[n - 1])
			return true;

	}
	return false;
}

• Python 版本

def partitions(set_):
    if not set_:
        yield []
        return
    for i in range(int(2**len(set_)/2)):
        parts = [set(), set()]
        for item in set_:
            parts[i&1].add(item)
            i >>= 1
        for b in partitions(parts[1]):
            yield [parts[0]]+b

for p in partitions(["1", "2", "3", "4"]):
    print(p)

整数分拆

正整数的有序分拆

正整数的无序分拆

无序分拆的Ferrers图

参考资料
贝尔数Bell数贝尔数为什么可以通过贝尔三角形推算出来？Stirling数第四讲集合分划和整数分拆C算法 集合划分问题集合划分生成器Efficient Generation of Set Partitions集合划分或列表的所有可能的分组(partition of a set or all possible subgroups of a list)partitions-of-a-set