unity Image 倒圆角

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技术领航员 2024-11-10 17:35:13

文章标签 unity Image 倒圆角法线矩阵 IT_M 法线变换矩阵 IT 文章分类 游戏开发

文章目录

Unity 中的处理
OpenGL 处理
为何要使用 IT_mMat
总结
References

LearnGL - 学习笔记目录

前些篇：

LearnGL - 11.1 - 实现简单的Gouraud-Phong光照模型
LearnGL - 11.2 - 实现简单的Phong光照模型
LearnGL - 11.3 - 实现简单的Blinn-Phong光照模型
LearnGL - 11.4 - 实现简单的Flat BlinnPhong光照模型

了解了 Gouraud-Phong、Phong、Blinn-Phong、Flat Blinn-Phong 光照模型的基本认识。

这篇：我们重点讲解一下法线从对象空间变换到世界空间的变换矩阵的推导过程，因为之前四篇光照处理有用到，但没有细节的去讲解到。

本人才疏学浅，如有什么错误，望不吝指出。

Unity 中的处理

在 Unity ShaderLab 中，你可能会看到内置的函数：

// Transforms normal from object to world space
inline float3 UnityObjectToWorldNormal( in float3 norm )
{
#ifdef UNITY_ASSUME_UNIFORM_SCALING
    return UnityObjectToWorldDir(norm);
#else
    // mul(IT_M, norm) => mul(norm, I_M) => {dot(norm, I_M.col0), dot(norm, I_M.col1), dot(norm, I_M.col2)}
    return normalize(mul(norm, (float3x3)unity_WorldToObject));
#endif
}

这函数中：

#ifdef UNITY_ASSUME_UNIFORM_SCALING
    return UnityObjectToWorldDir(norm);
#else

是处理统一缩放的法线变换，所以我们聚焦在后面那块：

// mul(IT_M, norm) => mul(norm, I_M) => {dot(norm, I_M.col0), dot(norm, I_M.col1), dot(norm, I_M.col2)}
    return normalize(mul(norm, (float3x3)unity_WorldToObject));

unity_WorldToObject model matrix 的逆矩阵，然后我们用 float3 * float3x3 来免去了处理 transpose(unity_WorldToObject) 的转置处理，像上面那句也可以这么写，但没必要：

return normalize(mul(transpose((float3x3)unity_WorldToObject), norm));

即： float3x3 * float3 的意思

OpenGL 处理

在我之前的一些 LearnGL 系列笔记中，如：LearnGL - 11.1 - 实现简单的Gouraud-Phong光照模型，写了一个 GLSL 函数 vec3 ObjectToWorldNormal(vec3 n)：

// 将对象空间的法线转换到世界空间下的法线
vec3 ObjectToWorldNormal(vec3 n) {
	return normalize(mat3(IT_mMat) * n);	// 等价于：transpose(I_mMat) * vec4(n, 0)
}

（这里顺便吐槽一下，GLSL 中竟然不支持 inline 内联开展？因为我编译 GLSL shader 是会提示：“inline” not supported 之类的，不会又需要什么 GL 的 Extensions 吧？）

这代码中的 IT_mMat 是我在 C++ 层计算好的 mMat 的逆矩阵的转置矩阵，再传入到 shader 的 uniform，对应上面 Unity 中的 unity_WorldToObject，只不过 unity_WorldToObject 没有转置而已，只是巧妙的利用了 CG/HLSL 中 mul 函数的特性来避免 transpose 函数的转置处理。

为何要使用 IT_mMat

那么为何我们要用 Model Matrix 的逆矩阵的转置矩阵来变换法线呢？

先来看看，我们变换顶点都是使用 mMat 从对象空间变换到世界空间，那么如果我们使用这个 mMat 矩阵来变换法线可以吗？

那么我用 GGB 来测试

unity Image 倒圆角_IT

上图，左边原始图形中的 $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_02$ 是切线， $unity Image 倒圆角_法线矩阵_03$ 是法线，右边缩放后的图形的 $unity Image 倒圆角_IT_04$ 是切线， $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_05$

在统一缩放（缩放分量相同）看起来没有问题

如果在非统一缩放呢？看看：

unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_06

unity Image 倒圆角_法线矩阵_07

看起来 $unity Image 倒圆角_IT_04$ 还是保持着平面上的切线，但是 $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_05$ 就没有保持与平面垂直了。

所以，在非统一缩放时，用 mMat 矩阵来变换法线是不行的。

那么我们利用一些已知的数学公式来推导：

已知：

Model Matrix（对象到世界空间变换矩阵） mMat ，我们定义符号为： $unity Image 倒圆角_法线矩阵_10$
$unity Image 倒圆角_IT_11$
$unity Image 倒圆角_法线变换矩阵_12$
$unity Image 倒圆角_IT_13$ 是 $unity Image 倒圆角_法线矩阵_10$
$unity Image 倒圆角_IT_M_15$ 是 $unity Image 倒圆角_法线变换矩阵_16$

$unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_17$ 是目前不知道的，正式是我们要求的法线变换矩阵，即：IT_mMat

由于法线是垂直于切线的，所以我们可以将一些公理式子列出来：

$unity Image 倒圆角_法线变换矩阵_18$

$unity Image 倒圆角_法线变换矩阵_19$ 上面为何第(1), (2) 的 $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_20$ 要用转置的，因为我们将 $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_21$ 视为 Nx1 的矩阵所以我们将同样的 $unity Image 倒圆角_unity Image 倒圆角_22$