二维离散联合概率密度 python 二维离散联合分布律

此处，我们假定2-维离散型随机向量$(X, Y)$的联合分布律为

即随机变量$X$取$m$个值，$Y$取$n$个值，将$(X, Y)$的联合分布中的概率值构成一个$m\times n$的矩阵，记为$P_{XY}$，即

$P_{XY}=\begin{pmatrix} p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn} \end{pmatrix}$

1. 联合分布律的表示

Python的scipy.stats包并未提供2-维分布，但numpy包的array数组类对象却能很好地表示这样的2-维离散型随机向量的联合分布律。
例1 从含有3个正品，2个次品的5个产品中依次无放回地抽取两个。设$X$表示第1次取到的次品个数，$Y$表示第2次取到的次品个数。求$(X, Y)$的联合分布律。
解：显然，$X$和$Y$的所有可能取值均为$\{0, 1\}$。由于是无放回抽取，
$P(X=i, Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i), i, j=0, 1$
$P(X=0, Y=0)=(3/5)(2/4)=3/10$，$P(X=0, Y=1)=(3/5)(2/4)=3/10$，
$P(X=1, Y=0)=(2/5)(3/4)=3/10$，$P(X=1, Y=1)=(2/5)(1/4)=1/10$。
于是，$(X, Y)$的联合分布律中由概率构成的矩阵$P_{XY}=\begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{pmatrix}$。下列代码在Python中表示$P_{XY}$。

import numpy as np                      #导入numpy
from sympy import Rational as R			#导入Rational
Pxy=np.array([[R(3,10), R(3,10)],       #创建2-维数组Pxy
             [R(3,10), R(1,10)]])
print(Pxy)                              #输出2-维数组

第3~4行创建一个名为Pxy的array类对象，将其设置为两个等长的数组的数组，从而构成一个矩阵。Pxy中的每一个元素设置为表示有理数的Rational对象（第2行导入，别名为R）。运行该程序，输出

[[3/10 3/10]
 [3/10 1/10]]

2. 边缘分布的计算

由上例可见，numpy的array类对象可将矩阵表示为2-维数组——数组的数组。2-维数组有两个“轴”：纵向记为axis=0，横向记为axis=1，如下图所示。

为计算变量$X$及$Y$的边缘分布律，可调用array类对象Pxy的sum函数，指定按行对列标j（axis=1）相加得到$X$的边缘分布律，这是一个具有$m$个元素的数组，记为$P_X$；按列对行标i（axis=0）相加得$Y$的边缘分布律，是一个具有$n$个元素的数组，记为$P_Y$。下列程序定义了按此方法根据联合分布律$P_{XY}$计算边缘分布律$P_X$和$P_Y$的Python函数。

import numpy as np                  #导入numpy
def margDist(Pxy):                  #定义计算边缘分布的函数
    Px=Pxy.sum(axis=1)              #按行相加得X分布律
    Py=Pxy.sum(axis=0)              #按列相加得Y分布律
    return (Px.reshape(Px.size, 1), #返回Px，Py
           Py.reshape(1, Py.size))

程序中第2~6行定义了用于根据$(X,Y)$的联合分布律计算$X$和$Y$的边缘分布的函数margDist。参数Pxy是组织为2-维数组的$(X,Y)$的联合分布律。第3行、第4行分别对Pxy按行相加和按列相加得到$X$、$Y$的边缘分布律存于Px和Py。第5~6行将Px，Py作为返回值返回。需要提及的是，为将array类对象表示的1-维数组，设置为一个列向量或行向量，以便与2-维数组表示的矩阵进行统一的运算，要调用该数组的reshape函数。因此，第5行返回的Px为列向量$\begin{pmatrix} p_{1\cdot}\\ p_{2\cdot}\\\vdots\\p_{m\cdot}\end{pmatrix}$，Py为行向量$(p_{\cdot1},p_{\cdot2},\cdots,p_{\cdot n})$。
例2 计算例1中2-维随机向量$(X, Y)$的边缘分布律。
解：由例1知，$(X, Y)$的联合分布律中概率矩阵为$P_{XY}=\begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{pmatrix}$。下列代码在Python中表示$P_{XY}$，按行对列标求和得$X$得边缘分布概率序列$P_X=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}\end{pmatrix}$，按列对行标求和得$Y$的边缘分布概率序列$P_Y=(\frac{3}{5},\frac{2}{5})$。
下列代码计算例1的随机向量$(X, Y)$中$X$和$Y$的边缘分布。

import numpy as np                  #导入numpy
from sympy import Rational as R     #导入Rational
Pxy=np.array([[R(3,10), R(3,10)],   #创建联合分布律Pxy
             [R(3,10), R(1,10)]])
Px, Py=margDist(Pxy)                #计算边缘分布律
print('Px:%s'%Px)
print('Py:%s'%Py)

第3~4行设置$(X, Y)$的联合分布律的概率矩阵Pxy。第5行调用上列程序定义的函数margDist，计算结果赋予Px，Py。运行程序，输出

Px:[[3/5]
 [2/5]]
Py:[[3/5 2/5]]