引言
目标跟踪算法中，一类很重要的模式就是使用检测器 + 滤波器来进行轨迹跟踪。检测器通常可选当前主流检测算法：YOLO、RCNN等系列，滤波器则通常包含均值漂移算法（Mean shift）、粒子滤波算法（Particle Filter）、卡尔曼滤波算法（Kalman Filer）和光流算法等。使用检测器+滤波器的目标跟踪模式极其依赖检测器性能的好坏。随着近些年众多优秀检测算法的提出，这种跟踪模式取得了极好的效果。这里我将介绍目标跟踪算法中常用到的卡尔曼滤波器，后续我会持续介绍其他的滤波器。
卡尔曼滤波器的初识
卡尔曼滤波器用于在包含不确定信息的系统中做出有根据的预测，即使系统伴随各种噪声，卡尔曼滤波器总能指向正确的方向。这里我先给出卡尔曼滤波器的数学公式，后面我将分别对这些公式进行推导。
卡尔曼滤波方程推导
卡尔曼预测公式推导
在做目标跟踪时，我们往往更关注目标的位置和速度两个参量，这里我们选取这两个参量作为我们的跟踪目标变量。以 表示 k 时刻目标所处的位置，
表示 k 时刻目标的速度，则我们可以通过位置和速度来表示 k 时刻目标所处的状态，即：
这里假设位置和速度是随机的变量，都服从高斯分布，均值为 μ，方差为
，均值代表最可能的状态，方差代表不确定性。通常我们希望变量之间相互独立，但卡尔曼滤波器是假设变量之间是相关的，就像观测位置通常与目标运行速度有关。卡尔曼滤波器力图抓住这种相关性特征，从而使用一个变量状态来推测获取其他变量的状态，达到从含不确定性的测试数据中学习到更多的信息的目的。我们通常用协方差矩阵
来表示这种相关性，设
表示第 i 个和第 j 个状态之间的相关度，则由
构成对称矩阵
。我们以高斯分布来建立状态变量，将 k 时刻状态用最佳估计
和以及协方差矩阵
来表示，这样一个跟踪问题就实例化为矢量数学模型。
接下来，我们需要根据当前时刻（ k - 1时刻）状态来预测下一时刻（k时刻）状态，这里使用一个状态转移矩阵
完成两个状态间的转移。值得注意的是，尽管我们并不知道对下一时刻的所有预测中那个是真正要发生的，但由于预测函数预测了所有可能性，同时给出了新的高斯分布，所以这将不再重要。下面我们要做的工作就是确定这个状态转移矩阵
。这里任然以位置和速度为例，假设目标做匀速运动，已知 k - 1 时刻的位置为
，速度为
，由运动学公式可得 k 时刻的位置和速度为：
将其写为矩阵相乘的形式：
从而我们得到一个匀速时的状态转移矩阵：
在对目标位置
和目标速度
完成预测后，我们必须也要对新一时刻的协方差做出更新。如何更新呢？其实很简单，我们只需要考虑两个协方差公式：
和
。因此对矢量
做协方差运算，得到新的协方差矩阵：
现实生活中，目标的一般很难保持匀速运动，由于各种因素，运动将会产生一个加速度 a，我们用
来矢量化加速度。再由运动学公式得到考虑加速度后的位置与速断变化：
将其表示为矩阵形式：
这就是卡尔曼滤波方程的第一条公式，式中
称为控制矩阵，
称为控制向量。
上面我们仅仅考虑了理想情况下目标的运动过程，并未考虑像风、大气阻力等未知因素的影响以及模型本身的噪声，即我们的目标跟踪不受噪声的影响。为了逼近现实情况，我们在每次预测之后手动添加一些新的不确定因素来建立一个不确定性模型。我们通常都是假设噪声服从一个0均值的高斯分布，即Noise~Guassian(0,σ)。例如对于一个一维的数据进行估计时，若要引入噪声的影响，其实只要考虑其中的方差σ即可。当我们将维度提高之后，为了综合考虑各个维度偏离其均值的程度，就需要引入协方差矩阵。这里我们引入噪声协方差矩阵 ，可以理解其为噪声部分在状态更新过程中产生的协方差。至此就得到了卡尔曼滤波方程的第二条公式：
到这里我们就得到了目标运动的一个模糊估计。
以上过程让我们得到了预测模型参数，现实中，我们还可以构建一组测量模型。我们用 表示测量数据，与之前计算相同，我们表示期望获得的更新位置和协方差为：
测量数据可以告诉我们系统当前处于什么状态。但是由于存在不确定性，某些状态可能比我们得到的读数更接近真实状态。我们将这种不确定性用协方差
表示，同时该分布的均值就是我们得到的测量数据，称之为
，则测量参数的高斯分布可以给出：
。现在我们有了两个高斯分布，一个是在预测值附近，一个是在测量值附近，我们要做的就是他们之间找到最优解。如何去找呢？我们必须清楚，对于一个 k 时刻的测量值，它既可能由 k - 1时刻的预测值得到，又可能由 k 时刻的测量值得到。因此我们需要计算两种情况都发生的概率，这里用到了融合高斯分布理论，我将在下面进行推导，这里先提一下。操作很简单，将两个高斯分布相乘，我们便可以得到两种情况的重叠部分，它也服从高斯分布，其均值就就代表两种情况下的最佳估计。
融合高斯分布
先考虑一维高斯分布，均值为 方差为
的高斯分布可以表示为：
将两个仅均值和方差不同的高斯分布相乘将得到一个新的高斯分布：
将新的高斯分布进行归一化后，其均值和方差可表示为：
令
代入上式：
上面是一维高斯分布情况，我们将这个结果扩展为多维度高斯分布，用
表示高斯分布的协方差，用
表示每个维度的均值，则上式可以进一步用矩阵的形式表示为：
我们通常称 K 为卡尔曼增益。
卡尔曼更新公式推导
综合预测部分高斯分布 和测量部分的高斯分布
并带入上面的推导结果式可得：
这里 K 是具体化的卡尔曼增益。下面要做的就是从上式中提取出更新参量
和
，将
和
左乘
，两式右边将会出现一个公共项
，令
。这样我们就得到了下面的更新公式：
到这里我们就得到了卡尔曼滤波的后三条更新公式，其中
是更新后的最佳估计，
是更新后的协方差，
总结
最后我们将卡尔曼公式进行归类，分为预测公式和更新公式：
Predict：Update：
