质数
在大于1的整数中，如果只包含1和本身这两个约数，就被称为质数，或者叫素数。
（1）质数判定
试除法
例题：试除法判定质数
给定 n 个正整数 ai，判定每个数是否是质数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。
输出格式
共 n 行，其中第 ii 行输出第 i个正整数 ai 是否为质数，是则输出 Yes，否则输出 No。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤231−1
输入样例：
2
2
6输出样例：
Yes
No解题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool is_prime(int n)
{
if(n<2) return false;//先判断是否大于1
for(int i=2;i<=n/i;i++)//从2到n-是不是包含n的约数
if(n%i==0)
return false;
return true;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n -- )
{
int x;
cin >> x;
if (is_prime(x)) puts("Yes");
else puts("No");
}
return 0;
}(2)分解质因数
1.试除法
n中最多只包含一个大于sqrt（n）的质因子
例题：分解质因数
给定 n 个正整数 aiai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 nn行，每行包含一个正整数 ai。
输出格式
对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。
数据范围
1≤n≤100
2≤ai≤2×109
输入样例：
2
6
8输出样例：
2 1
3 1
2 3解题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
void divide(int n)
{
//从小到大枚举n的所有约数
for(int i=2;i<=n/i;i++)
if(n%i ==0)//i一定是质数
{
int s=0;
while(n%i==0)
{
n/=i;
s++;
}
printf("%d %d\n",i,s);
}
if(n>1) printf("%d %d\n",n,1);
puts("");
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n -- )
{
int x;
cin >> x;
divide(x);
}
return 0;
}2.筛质数
例题：筛质数
给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。
输入格式
共一行，包含整数 n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n中质数的个数。
数据范围
1≤n≤106
输入样例：
8输出样例：
4解法一：埃氏筛法
解题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!st[i])//当前数没有被筛过，说明是质数
{
primes[cnt++]=n;
for(int j=i+i;j<=n;j+=i) st[j]=true;//把质数的倍数删掉
}
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
get_primes(n);
cout << cnt << endl;
return 0;
}解法二：线性筛法
解题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!st[i]) primes[cnt++]=i;//如果是质数就加入数表里面去
for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)//从小到大枚举所有质数
{
st[primes[j]*i]=true;//每次把当前的质数与i的乘积筛掉
if(i%primes[j]==0) break;//primes[j]一定是i的最小质因子
}
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
get_primes(n);
cout << cnt << endl;
return 0;
}约数
1.试除法求一个数的所有约数
例题：试除法求约数
给定 n 个正整数 aiai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai的所有约数。
数据范围
1≤n≤100
2≤ai≤2×109
输入样例：
2
6
8输出样例：
1 2 3 6
1 2 4 8解题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int>get_divisors(int n)
{
vector<int> res;//存答案的数组
for(int i=1;i<=n/i;i++)
if(n%i==0)//如果i是n的一个约数
{
res.push_back(i);
if(i!=n/i) res.push_back(n/i);//防止n是i的平方，输出两个相同的数字
}
sort(res.begin(),res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int x;
cin>>x;
auto res=get_divisors(x);
for(auto t:res) cout<<t<<' ';
cout <<endl;
}
return 0;
}2.约数个数
例题：约数个数
给定 n个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7取模。
数据范围
1≤n≤100
1≤ai≤2×109
输入样例：
3
2
6
8输出样例：
12解题：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9 + 7;
int main()
{
int n;
cin >>n;
unordered_map<int ,int>primes;//存所有指数和底数
while(n--)
{
int x;
cin >>x;
for(int i=2;i<=x/i;i++)
while(x%i==0)
{
x/=i;
primes[i]++;//i的质因数的指数+1
}
if(x>1) primes[x]++;
}
LL res=1;
for(auto prime:primes) res=res*(prime.second +1)%mod;
cout << res<<endl;
return 0;
}
3.约数之和
例题： 约数之和
给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 109+7取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 109+7 取模。
数据范围
1≤n≤100
1≤ai≤2×109
输入样例：
3
2
6
8输出样例：
252解题：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9 + 7;
int main()
{
int n;
cin >>n;
unordered_map<int ,int>primes;//存所有指数和底数
while(n--)
{
int x;
cin >>x;
for(int i=2;i<=x/i;i++)
while(x%i==0)
{
x/=i;
primes[i]++;//i的质因数的指数+1
}
if(x>1) primes[x]++;
}
LL res=1;
for(auto prime:primes)
{
int p=prime.first,a=prime.second; //先枚举下每个质数,p为底数，a为指数
LL t=1;//t表示总和
//先求p的0次方加到p的a次方
while(a--) t=(t*p+1)%mod;
res=res*t%mod;
}
cout << res<<endl;
return 0;
}4.最大公约数：欧几里得算法（辗转相除法）
原理：
例题：最大公约数
给定 n 对正整数 ai,bi请你求出每对数的最大公约数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数对 ai,bi。
输出格式
输出共 n 行，每行输出一个整数对的最大公约数。
数据范围
1≤n≤105
1≤ai,bi≤2×109
输入样例：
2
3 6
4 6输出样例：
3
2解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
//b如果不是0的话，返回（b，a mod b），当b=0的时候，返回a（0可以整除任何数）
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",gcd(a,b));
}
return 0;
}
