柯布道格拉斯函数图像 r语言 柯布道格拉斯函数求解

柯布-道格拉斯生产函数（Cobb–Douglas production function）最初是美国数学家查尔斯·柯布（Charles Wiggins Cobb）和经济学家保罗·道格拉斯（Paul Howard Douglas）在探讨投入和产出的关系时共同创造的。

在柯布与道格拉斯二人于1928 年发表的著作中，他们详细地研究了1899 年至1922 年美国制造业的生产函数。他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。

在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。同时，他们还排除了对土地的投资。这是因为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

经过一番处理，基于1899 年至1922 年间的数据，柯布与道格拉斯得到了如下所示之形式的生成函数（后来被称为柯布-道格拉斯生产函数）：

其中，Y 表示总产出，L表示投入的劳力（≥0），K 表示投入的资本（≥0），A 是全要素生产率（或称为技术水平），α 与 β

从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据 α 和 β 的组合情况，它有三种类型：

• α + β > 1， 称为规模报酬递增型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
• α + β < 1，称为规模报酬递减型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
• α + β = 1，称为规模报酬不变型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。例如，双倍的资本和劳力投入，只会得到双倍的产出。

柯布-道格拉斯生产函数是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。