次序logistic回归分析 定序logistic回归步骤

Logistic回归学习笔记

简介

Logistic回归是一种常见的分类算法，可以用于处理二分类和多分类问题。其原理是基于目标变量的概率分布来进行分类。

基本概念

Sigmoid函数

Sigmoid函数（又称为逻辑函数）是Logistic回归模型中使用的一个函数，其公式如下：

$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$

其中，$e$为自然对数的底数。

Sigmoid函数可以将输入值映射到0和1之间，因此常用于表示概率值。

目标变量

在Logistic回归中，目标变量通常是二元变量，即取值为0或1。目标变量为0表示不属于某类，为1表示属于某类。

损失函数

Logistic回归使用的损失函数是交叉熵函数（cross-entropy function），其公式如下：

$\begin{aligned} L(w) &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i\ln h_w(x_i)+(1-y_i)\ln(1-h_w(x_i))] \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i\ln(\frac{\exp(w^Tx_i)}{1+\exp(w^Tx_i)})+(1-y_i)\ln(\frac{1}{1+\exp(w^Tx_i)})] \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_iw^Tx_i-\ln(1+\exp(w^Tx_i))] \end{aligned}$

其中，$w$为模型参数向量，$x_i$为第$i$个样本的特征向量，$y_i$为第$i$个样本的目标变量（0或1），$h_w(x_i)=\sigma(w^Tx_i)$为对应的模型输出。

梯度下降算法

梯度下降算法（Gradient Descent）是一种常用的优化方法，可以用于求解Logistic回归模型中的最优参数。

其具体过程如下：

1. 随机初始化模型参数向量$w$。
2. 计算损失函数$L(w)$及其梯度$\nabla L(w)$。
3. 更新模型参数：$w = w - \alpha\nabla L(w)$，其中$\alpha$为学习率。
4. 重复步骤2-3，直到满足停止条件。

多元Logistic回归

多元Logistic回归适用于多分类问题。其原理是将目标变量分解成多个二元变量，并对每个二元变量进行分类。

Softmax函数

Softmax函数是多元Logistic回归中使用的一个函数，其公式如下：

$S_j(x) = \frac{\exp(w_j^Tx)}{\sum_{k=1}^K\exp(w_k^Tx)}$

其中，$w_j$为第$j$个类别的参数向量，$K$为类别数。

Softmax函数可以将输入值映射到$[0,1]$之间，并且所有分类结果的概率和为1，因此常用于多分类问题的概率估计。

损失函数

多元Logistic回归中使用的损失函数是交叉熵损失函数（cross-entropy loss function），其公式如下：

$L(w)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^Ky_{i,j}\ln(S_j(x_i))$

其中，$y_{i,j}$表示第$i$个样本是否属于第$j$个类别，$S_j(x_i)$为对应的模型输出。

梯度下降算法

多元Logistic回归中使用的梯度下降算法与二元Logistic回归类似，其具体过程如下：

1. 随机初始化模型参数向量$w$。
2. 计算损失函数$L(w)$及其梯度$\nabla L(w)$。
3. 更新模型参数：$w = w - \alpha\nabla L(w)$，其中$\alpha$为学习率。
4. 重复步骤2-3，直到满足停止条件。

总结

本文介绍了Logistic回归的基本概念、Sigmoid函数、目标变量、损失函数、梯度下降算法以及多元Logistic回归的相关知识。Logistic回归是一种常用的分类算法，可以应用于各种实际问题中。在实际应用中，需要根据实际情况选择不同的模型和优化方法，以提高模型的准确性和稳定性。