怎么用python求导数 python求导数值

目录

• 导数
• 数值微分
• 偏导数
• 梯度（gradient）

导数

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率：

例如一元函数中，某一点的p导数，描述了该点切线的斜率：

数值微分

解析性求导 ：利用数学推导计算导数，如：
y=x², 则y’=2x
数值微分：利用微小的差分求导。即根据导数定义公式，代入一个极小的∆x，求出变化率。

python示例：分别用数值微分和解析求导计算f=x²在x=2处的导数：

#定义函数f
def f(x):
    return x*x

# 定义数值微分计算方法
def numerical_diff(f, x):
    h = 1e-4 #0.0001，∆x,注意不能太小，会导致舍入误差而变成0
    return (f(x+h)-f(x-h))/(2*h) #计算变化率

x=2
print('数值微分结果：{}'.format(numerical_diff(f, x)))
print('解析求导结果:{}'.format(2*x))

偏导数

对于有多个自变量的函数，例如Z=f(X,Y),有下图：

在x保持不变的情况下（图中的黑线），Z值仅随Y值变化，该变化率即为函数对Y的偏导（图中斜率）

计算偏导时，将其他自变量视为常数。

例：求y=x²+3xy+y²在点（1,2）处对x的偏导数

解：将y视为常量，根据求导公式：

y’=2x+3y,

所以在点(1,2)处对x的偏导数为：2×1+3×2=8

梯度（gradient）

对于有多个变量的函数，对每个变量分别计算偏导数，这些偏导数汇合而成的向量，称为梯度。

对于上面举的例子，在某一点分别计算X和Y的偏导数，这两个偏导数组成的向量，就是梯度。梯度代表着函数值变化率最快的方向：

梯度计算的python示例：

令：y=x₀²+x₁²

import numpy as np

# 定义函数，主要x为二维数组
def f(x):
    return x[0]**2+x[1]**2

# 通过数值微分计算梯度，注意x为数组
def numerical_gradient(f,x):
    h=1e-4 #0.0001，∆x,注意不能太小，会导致舍入误差而变成0
    grad=np.zeros_like(x)

    for index in range(x.size):
        #计算第index个x的偏导数
        temp_val=x[index]
        x[index]=temp_val+h
        fxh1=f(x)
        x[index]=temp_val-h
        fxh2=f(x)

        # 将偏导数存为梯度向量
        grad[index]=(fxh1-fxh2)/(2*h)
        x[index]=temp_val

    return  grad

# 随便计算两个点的梯度
print(numerical_gradient(f,np.array([3.0,4.0])))
print(numerical_gradient(f,np.array([0.0,2.0])))

输出结果为
[6. 8.]
[0. 4.]

#梯度的直观理解

上例中，y=x₀²+x₁²,通过python画图如下：

我们将x₀和x₁在[-2,2]区间内每个点的‘负梯度’计算并用python画出来：

可以看到，每个点的梯度都指向（0,0）点，这一点正是令函数值最小的点（函数值为0），而且距离该点越远，梯度越大，意味着函数值下降的速度越快。这个特性，在机器学习中具有非常重要的作用！