android 两边半圆长方形背景 两边半圆中间长方形

容易想到二分实数$r$，关键是如何判定一个半径$r$是否合法。

这个判定问题其实可以转化为判定能否将多边形的边分成两部分，每一部分都可以用多边形内的一点作半径为$r$的圆与其内部所有边所在直线相交。给定了某一部分的边的话，将该部分的边向内缩半径$r$后可以得到若干半平面，多边形的边也对应了若干半平面，显然合法的点需要在这些半平面内，问题即为判定这些半平面与多边形对应的半平面的交是否为空。

注意到若某个集合的半平面与多边形对应的半平面的交不为空，一定包含某两条直线（包括向内缩的和原多边形的）的交点。一个暴力的算法是枚举所有直线的交点（在多边形内的），再枚举每条边向内缩$r$后对应的半平面看是否在内部，这样得到一个可以覆盖的边的集合，最后看能不能用两个这样的点覆盖所有边，时间复杂度为$\mathcal O(n^3\log V)$，不能通过。

要得到复杂度更优秀的算法，我们需要证明一个结论，将边按逆时针顺序标号后，最优解中分成的两部分都是连续的区间（可以循环，即$\{n,1,2,...\}$这样的，下同）。

CF上原题解的证明过程有问题，这里感谢毛啸同学（mathew99）给出的证明。

设我们最后选择的点为$A$和$B$，一般地，只考虑$A$和$B$不重合的情况。恰当地旋转坐标系和选择原点，可以使$A$和$B$落在$x$轴上且关于原点对称（令$A$在原点左侧）。考虑凸多边形每条边所在直线与$x$轴的交点（若与$x$轴平行的话与$A$和$B$距离相等，可以忽略），那么它不可能落在$A$和$B$之间，否则与凸多边形的定义矛盾，并且显然会划分成连续的两部分，一部分交点落在$A$左侧，一部分落在$B$右侧（事实上每一部分的交点坐标是单峰的）。注意到若交点落在$A$左侧，会距离$A$更近；若落在$B$右侧，会距离$B$更近，因此距离$A$更近的和距离$B$更近的边都形成连续的区间（相等的划分到一侧即可），最优解中显然也会这么划分。于是证明完毕。

有了这个结论后，我们的想法是算出每个区间能否用一个点作圆覆盖。如果直接枚举每个区间计算半平面交判定，复杂度并没有优化。不过我们可以注意到若区间$[l,r]$的子区间$[l$不能用一个点作圆覆盖，那$[l,r]$也不能用一个点作圆覆盖。于是我们可以考虑双指针，枚举左端点$l$，那么最大可行的$r$单调不降，因此总共只用判定$\mathcal O(n)$个区间。算出了每个$l$最大可行的$r$后就容易判定是否可行了。

实现的时候我们需要预先对所有的半平面排序，再利用增量法求出半平面交。时间复杂度$\mathcal O(n^2\log n)$。

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-10
 
using namespace std;
 
typedef double db;
 
inline int sgn(db x) {
  return (x>-eps)?((x>eps)?1:0):-1;
}
 
struct Point {
  db x,y;
  
  Point() {}
  Point(db a,db b):x(a),y(b) {}
  
  db ang() {return atan2(y,x);}
  db len() {return sqrt(x*x+y*y);} 
  Point nor() {
  	db l=len();
  	return Point(-y/l,x/l);
  }
  
  Point operator + (Point b) {return Point(x+b.x,y+b.y);}
  Point operator - (Point b) {return Point(x-b.x,y-b.y);}
  Point operator * (db b) {return Point(x*b,y*b);}
  Point operator / (db b) {return Point(x/b,y/b);}
};
 
inline db cross(Point x,Point y) {
  return x.x*y.y-x.y*y.x;
}
 
struct Line {
  Point x,y;
  db ang;
  Line() {}
  Line(Point a,Point b):x(a),y(b) {ang=(y-x).ang();}
  bool operator < (const Line & b) const {
  	if (sgn(ang-b.ang)) return ang<b.ang;
  	Point t1=y,t2=b.y;
  	return sgn(cross(t1-x,t2-x))<0;
  }
};
 
inline Point inter(Line x,Line y) {
  db s1=cross(y.x-x.x,x.y-x.x);
  db s2=cross(x.y-x.x,y.y-x.x);
  return (y.x*s2+y.y*s1)/(s1+s2);
}
 
Line p[605];
bool in[605];
Point curp;
 
bool half_plane(int n) {
  static Line q1[605];
  static Point q2[605];
  int l=1,r=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    if (in[i]&&(l>r||sgn(p[i].ang-q1[r].ang))) {
    	Line t=p[i];
    	while (l<r&&sgn(cross(t.y-t.x,q2[r]-t.x))<0) r--;
    	while (l<r&&sgn(cross(t.y-t.x,q2[l+1]-t.x))<0) l++;
    	q1[++r]=t;
    	if (l<r) q2[r]=inter(q1[r-1],t);
	}
  while (l<r&&sgn(cross(q1[l].y-q1[l].x,q2[r]-q1[l].x))<0) r--;
  if (r-l<2) return 0;
  curp=q2[r];
  return 1;
}
 
Line a[305],b[305],q[605];
int id1[305],id2[305],rpos[305];
Point bel[305];
 
bool cmp(int x,int y) {
  return q[x]<q[y];
}
 
bool check_half(int n,int l,int r) {
  memset(in,0,sizeof(in));
  for(int i=1;i<=n;i++) in[id1[i]]=1;
  for(int i=l;i<=r;i++) in[id2[(i-1)%n+1]]=1;
  return half_plane(2*n);
}
 
Point ans1,ans2;
 
bool check(int n,db r) {
  static int cur[605];
  for(int i=1;i<=n;i++) {
  	Point t=(a[i].y-a[i].x).nor();
  	b[i]=Line(a[i].y+t*r,a[i].x+t*r);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) {
  	q[i]=a[i];q[n+i]=b[i];
  }
  for(int i=1;i<=2*n;i++) cur[i]=i;
  sort(cur+1,cur+2*n+1,cmp);
  for(int i=1;i<=2*n;i++) {
    if (cur[i]<=n) id1[cur[i]]=i; 
	else id2[cur[i]-n]=i;
	p[i]=q[cur[i]];
  }
  int nr=0;
  for(int i=1;i<=n;i++) {
  	while (nr<2*n&&check_half(n,i,nr+1)) nr++;
  	check_half(n,i,nr);
    rpos[i]=nr;bel[i]=curp;
  }
  if (rpos[1]>=n) {
  	ans1=ans2=bel[1];
  	return 1;
  }
  for(int i=1;i<n;i++)
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
      if (rpos[i]>=j-1&&rpos[j]>=n+i-1) {
      	ans1=bel[i];ans2=bel[j];
      	return 1;
	  }
  return 0;
}
 
Point fir[305];
 
int main() {
  int n;
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++) {
  	int x,y;
  	scanf("%d%d",&x,&y);
  	fir[i]=Point(x,y);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Line(fir[i],fir[i%n+1]);
  db l=0,r=1e5;
  while (r-l>1e-7) {
  	db mid=(l+r)*.5;
  	if (check(n,mid)) r=mid; else l=mid;
  }
  check(n,l+5e-8);
  printf("%.10f\n",l);
  printf("%.10f %.10f\n",ans1.x,ans1.y);
  printf("%.10f %.10f\n",ans2.x,ans2.y);
  return 0;
}