善于换元

  • 分解因式 \(x^6-28x^3+27\) 时可以记 \(x^3=u\)，于是原式变为 \(u^2-28u+27\).
  • 证明：四个连续整数之积与 \(1\)。
    设四个数分别为 \(x+1\)，\(x+2\), \(x+3\), \(x+4\), 则

\[(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1. \]

之所以做这种分配，是因为得到的两个乘积二次项相同，同时一次项也相同。
我们记 \(x^2+5x+5=u\), 于是上式变为

\[[u-1][u+1]+1=u^2=(x^2+5x+5)^2. \]

分主次

  • 分解因式：\(a^2b-ab^2+a^2c-ac^2-3abc+b^2c+bc^2\).
    这是三元三次式，看上去难度很大。我们的基本思想非常简单：仅把 \(a\) 看作“未知”，把 \(b\), \(c\) 当作已知的“数”，即把这个多项式看成 \(a\) 的二次式。
    我们将其按 \(a\) 降幂排列为 $$(b+c)a2-(b2+c2+3bc)a+(b2c+bc^2).$$
    现在再用十字相乘即可分解 $$[a-(b+c)][(b+c)a-bc]=(a-b-c)(ab+ac-bc).$$

再看一个更繁琐一点的例子：

  • 分解因式：\(ab(x^2-y^2)-(a^2-b^2)(xy+1)-(a^2+b^2)(x+y)\).
    这里我们以 \(a\), \(b\) 为主要字母，即将多项式看成 \(a\), \(b\) 的二次齐次式。整理可得\[b^2[(xy+1)-(x+y)]+ab(x^2-y^2)-a^2[(x+y)+(xy+1)]. \]

化简之后有 $$b2(x-1)(y-1)+ab(x2-y2)-a2(x+1)(y+1).$$
现在利用十字相乘可得

\[[(x-1)b-(y+1)a][(y-1)b-(x+1)a]=(bx-b-ay-a)(by-b+ax+a). \]

一题两解

分解因式：\(x^2+a(a+b)x-3a^2+10ab-3b^2\).

  • 解法一：我们将其看作 \(x\) 的二次式。 分解常数项可得 $$-(3a-b)(a-3b).$$
    于是由十字相乘可得 $$(x+3a-b)(x-a+3b).$$
  • 解法二：我们将其看作 \(x\), \(a\), \(b\)

展开处理

  • 分解因式：\((ax+by)^2+(ay-bx)^2\).
    将其展开、整理可得 $$a2x2+b2y2+a2y2+b2x2$$
    再提取公因式即得 $$(a2+b2)(x2+y2).$$
    这题过程非常简单，但这个结论却非常有价值。它表明： 两个平方和的积仍然是平方和。 另外，这个恒等式可以由复数的运算很自然的得到。

独具匠心

  • 分解因式：\((a+b)^2(ab-1)+1\).
    把前一项拆成两项，即 $$(a+b)2(ab-1)+1=(a+b)2ab-(a+b)^2+1.$$
    这里我们做一件“看似复杂”的事情，我们把它看作下述多项式在\(x=1\)时的值：

\[(a+b)^2abx^2-(a+b)^2x+1. \]

现在很容易想到利用十字相乘法：$$[a(a+b)x-1][b(a+b)x-1].$$
于是原来的式子就可分解为 $$(a2+ab-1)(b2+ab-1).$$
这种方法确实很难想到。不过事后诸葛一句，如果把这种方法看作“一般化所证命题”这一思想的一个例子，倒也不很稀奇。

书中后文还讲了一个关于初等数论的例子，不过比较复杂，这里就不写了。感兴趣的可以去看书。

小结

每个复杂的问题都可以分解为若干个简单的小问题。恰当的分解很关键，会处理那些简单的问题也很重要。所以一定要熟练掌握基本方法。