把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来，核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数
变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。
(1)傅里叶变换
炫云：傅里叶变换的全面理解，非常棒zhuanlan.zhihu.com
(2)Graph上的傅里叶变换
传统的傅里叶变换定义为：
公式（1）表示的意义是傅立叶变换是时域信号
与基函数
（拉普拉斯算子特征函数）的积分，
那么为什么要找
作为基函数呢？
- 是正交函数系。
- 从数学上看， 是拉普拉斯算子 的特征函数（满足特征方程）, 就和特征值有关。
至于
由何种推导得来的请参考：傅里叶变换的全面理解
拉普拉斯算子Δ的定义:
炫云：拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵，图拉普拉斯算子推导zhuanlan.zhihu.com
其数学定义为:
- 为何 是拉普拉斯算子 的特征函数？理解如下
广义的特征方程定义为：
其中
是一种变换(例如：拉普拉斯)，
是
特征向量或者特征函数（无限维的特征向量），
是特征值。
带入函数
满足：
当然
就是变换
的特征函数，
和特征值密切相关
。
由上述证明可得结论：傅立叶变换是时域信号与拉普拉斯算子特征函数的积分。
从整体推特殊，将以上的结论推广到（离散）图中可知：图上的傅立叶变换就是时域信号与图拉普拉斯算子特征函数的求和！
那么，处理Graph问题的时候，用到拉普拉斯矩阵（拉普拉斯矩阵就是离散拉普拉斯算子)，自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。
是拉普拉斯矩阵，
是其特征向量，自然满足下式
对于傅里叶变换式（1），将特征函数转换为特征向量，离散积分就是一种内积形式,将积分转换为求和，那么N个顶点图上的傅立叶变化表达式为：
是Graph上的
维向量，
与Graph的顶点一一对应，
表示第
个特征向量的第
个分量。
为图拉普拉斯算子第
个特征值,公式（5）是
特征值（频率）对应的傅立叶变换.
注：上述的内积运算是在复数空间中定义的，所以采用了
，也就是特征向量
的共轭。
利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶变换推广到矩阵形式：
即
在Graph上傅里叶变换的矩阵形式为：
式中：
的定义与拉普拉斯矩阵的谱分解的相同,为拉普拉斯谱分解的正交矩阵。
(3)Graph上的傅里叶逆变换
类似地，为了将频率函数变换为时域函数,传统的傅里叶逆变换是对频率
求积分：
公式（7）和公式（1）类似，差一个常数系数。公式（1）积分之后是一个关于w的函数，公式(7) 对w积分后是关于t的函数，从频域变换到了时域。
迁移到Graph上变为对特征值
求和：
利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶逆变换推广到矩阵形式：
即
在Graph上傅里叶逆变换的矩阵形式为：
二、为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基？特征值表示频率？
(1)为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基？
傅里叶变换一个本质理解就是：把任意一个函数表示成了若干个正交函数（由sin,cos 构成）的线性组合。
图6 傅里叶逆变换图示
通过
式也能看出，
graph傅里叶变换也把graph上定义的任意向量
，表示成了拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合，即：
那么：为什么graph上任意的向量
都可以表示成这样的线性组合？
原因在于
是graph上
维空间中的
个线性无关的正交向量，由线性代数的知识可以知道：
维空间中
个线性无关的向量可以构成空间的一组基，而且拉普拉斯矩阵的特征向量还是一组正交基。
所以拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基。
(2)怎么理解拉普拉斯矩阵的特征值表示频率？
在graph空间上无法可视化展示“频率”这个概念，那么从特征方程上来抽象理解。
可以观看
炫云：拉普拉斯矩阵的谱分解，图的拉普拉斯矩阵zhuanlan.zhihu.com
将拉普拉斯矩阵
的
个
非负实特征值，从小到大排列为
，而且最小的特征值
，因为
维的全1向量对应的特征值为0（由
的定义就可以得出）：
从特征方程的数学理解来看：
在由Graph确定的
维空间中，越小的特征值
表明：拉普拉斯矩阵
其所对应的基
上的分量、“信息”越少，那么当然就是可以
忽略的低频部分了。
其实图像压缩就是这个原理，把像素矩阵特征分解后，把小的特征值（低频部分）全部变成0，PCA降维也是同样的，把协方差矩阵特征分解后，按从大到小取出前K个特征值对应的特征向量作为新的“坐标轴”。
