java二重积分 二重积分的积分法

6 - 二重积分

文章目录

• 6 - 二重积分

• 一、二重积分的基本分析

• 1. 积分定限
• 2. 积分比大小

• 二、二重积分的运算技巧

• 1. 对称性

• 1）坐标轴对称
• 2）轮换对称性

• 轮换对称性的产生
• 轮换对称性应用举例

• 2. 割补法
• 3. 利用几何意义
• 4. 交换积分次序
• 5. 极-直坐标变换

• 1）直线作为积分区域的边界，依旧可能便于使用极坐标系积分
• 2）平移积分区间

• 三、二重积分几何应用

• 1. 求形心
• 2. 求体积

• 四、便于积分的场景

一、二重积分的基本分析

1. 积分定限

利用数形结合的方式，如果是 $dx$ ，则在积分区域画一条平行于 x 轴的线，$dy$ 则画一条平行于 y 轴的线；极坐标系看图确定 $d\theta$ 从多少弧度积分到多少弧度，然后过原点画一条角度不断变化的射线，去确定 $dr$

2. 积分比大小

1. 积分之间比大小，有时可以通过比较被积函数的大小来间接比较积分的大小
2. 分析原函数的正负边界，参考积分区域，也可以用于部分特殊的比大小，例如：

$\begin{aligned} \iint_D(x^2+y^2-4)dxdy \end{aligned}$

在半径为 2 的圆以内的区域，被积函数值恒大于 0 ，以外的区域，被积函数值恒小于 0 ；所以如 $D_1=\{(x,y)|x^2+y^2\leq4\}$ 和 $D_2=\{(x,y)|x^2+y^2\leq8\}$ ，在 $D_1$ 上积分值就大于在 $D_2$

二、二重积分的运算技巧

1. 对称性

1）坐标轴对称

当积分区域关于 x 、y 轴对称时，可以考察被积函数是否是关于 x 或 y 的 奇/偶函数，并可以借此简化计算

有时也可以通过 割补积分区域 来凑出一部份区域的对称性，并以此简化计算

【注】 判断是否对称的时候建议使用奇偶性定义

【注】 有些函数隐含了奇偶性条件，如 $f(x^2)$

2）轮换对称性

轮换对称性的产生

x、y对调后，积分区域不变，就存在轮换对称性

1. 将所有的 y 和 x 互换，由积分的形式不变性，积分的值不会发生改变
2. 看所有的 y 和 x 互换后，二重积分的几何意义：积分区域关于 $y=x$
3. 如果积分区域在关于 $y=x$
4. 即便积分区域在对称后变化了，有时也可以借此创造 割补法 的使用场景简化计算

轮换对称性应用举例

1. 凑 $x^2+y^2$

利用轮换对称性构造积分值与原函数相同的新积分，相加后在被积函数处凑出 $x^2+y^2$ 以便于转化成极坐标运算，例如：
$D=\{(x,y)|t^2\leq x^2+y^2\leq 4t^2\}(t>0)$

$\begin{aligned} \iint_D \frac{(2x^2+1)f(x^2+y^2)}{x^2+y^2+1}dxdy&=\iint_D \frac{(2y^2+1)f(x^2+y^2)}{x^2+y^2+1}dxdy \\ &=\frac12\iint_D\frac{(2x^2+2y^2+2)f(x^2+y^2)}{x^2+y^2+1}dxdy \\ &\cdots\cdots \ \text{化为极坐标继续运算即可} \end{aligned}$

此类情况，积分区间本身关于 $y=x$

2. 割补法

通过割补法调整积分区域来简化二重积分的计算

3. 利用几何意义

对于一些特殊的二重积分形式，尤其是被积函数跟圆和椭圆相关的时候，可以参照圆和椭圆的面积直接得出积分值。
例如 求
$I=\int_0^1dx\int_0^{e^x}\sqrt{e^{2x}-y^2}dy$

第一象限圆面积的一般积分形式：
$圆的方程：x=\sqrt{r^2-y^2} \\ S=\int_0^{r}\sqrt{r^2-y^2}dy$

所以 $\int_0^{e^x}\sqrt{e^{2x}-y^2}dy$ 可以视为半径为 $e^x$ 的圆面积的 $\frac14$

所以 可以直接得到 $\int_0^{e^x}\sqrt{e^{2x}-y^2}dy = \frac{\pi}{4}(e^x)^2$

所以 有：
$I=\frac\pi4\int_0^1e^{2x}dx=\frac\pi8(e^2-1)$
【注】 椭圆面积为 $S=\pi ab$

4. 交换积分次序

没思路的时候可以尝试 交换积分次序 ，也许会破局

5. 极-直坐标变换

1）直线作为积分区域的边界，依旧可能便于使用极坐标系积分

一些以直线为积分区域边界的二重积分，转化成极坐标系依旧便于计算

尤其是以 $y=kx$ 为边界的积分区域，$d\theta$ 直接以 $arctank$

2）平移积分区间

对于积分区间是如圆心不在原点的圆，可以考虑做类似下面的处理：
$积分区域：D=\{(x,y)|(x-1)^2+y^2\leq4\} \\ \begin{cases} x-1&=rcos\theta \\ \\ y&=rsin\theta \end{cases}$

三、二重积分几何应用

1. 求形心

$\overline y=\frac{\iint_D y\ d\sigma}{S}=\frac{\iint_D y\ dxdy}{\iint_D dxdy}$

对于一些对称图形和对称性，也可以直接利用几何性质判断形心的位置

2. 求体积

对于求一个物体的体积，可以将其 z 方向的高度视为 面密度 ，然后转化为普通的二重积分（面积分）进行求解

如求球（$x^2+y^2+z^2\leq4$）体积：
$V=8\iint_D\sqrt{4-x^2-y^2}d\sigma$

四、便于积分的场景

$\begin{aligned} &\int secxtanx\ dx=secx \\ &\int sec^2x\ dx=tanx \\ &\int sec^4x\ dx=\int sec^2(1+tan^2x)\ dx=\int1+tan^2x\ d(tanx) \\ &\int sec^2xtanx\ dx=\int tanx\ d(tanx) \\ \end{aligned}$

以上积分常在 极-直坐标变换 时出现