GBDT是一种采用加法模型（即基函数的线性组合）与前向分步算法并以决策树作为基函数的提升方法。通俗来说就是，该算法由多棵决策树组成，所有树的结论加起来形成最终答案。
一、前向分步算法（考虑加法模型）
要理解GBDT算法，得先来了解一下什么是前向分步算法。下面一起来瞧瞧。
加法模型是这样的：
（就是基学习器的一种线性组合啦）
其中，
为基函数，
为基函数的参数，
为基函数的系数。
在给定训练数据及损失函数
的条件下，学习加法模型成为损失函数极小化问题：
（同时求解那么多参数，好复杂）
前向分步算法求解这一优化问题的思路：因为学习的是加法模型，如果能够从前向后，每一步只学习一个基函数及其系数，逐步去逼近上述的目标函数式，就可简化优化的复杂度，每一步只需优化如下损失函数：
（每步学习一个基函数和系数）
前向分步算法流程：
--------------------------------------------------------------------------------------------
输入：训练数据集T=({
})；损失函数L(y,f(x))；基函数集{
}；
输出：加法模型f(x)
(1) 初始化
(2) 对m=1,2,...,M
(a) 极小化损失函数
得到参数
(b)更新
(3)得到加法模型
------------------------------------------------------------------------------------------
可见，前向分步算法将同时求解从m=1到M所有参数
的优化问题简化成逐步求解各个
的优化问题了。
二、负梯度拟合
1.提升树算法
了解完前向分步算法，再来看看什么是提升树算法。
CART回归树，不是分类树。当问题是分类问题时，采用的决策树模型为分类回归树。为什么要采用决策树作为基函数呢？它有以下优缺点：
优点
- 可解释性强
- 可处理混合类型特征
- 具有伸缩不变性（不用归一化特征）
- 有特征组合的作用
- 可自然处理缺失值
- 对异常点鲁棒
- 有特征选择作用
- 可扩展性强，容易并行
缺点
- 缺乏平滑性（回归预测时输出值只能是输出有限的若干种数值）
- 不适合处理高维稀疏数据
由于树的线性组合可以很好地拟合训练数据，即使数据中的输入与输出之间的关系很复杂也是如此。
提升树模型可表示为：
其中，
表示决策树;
为决策树的参数;M为树的个数;M为树的个数。
针对不同的问题，提升树算法的形式有所不同，其主要区别在于使用的损失函数不同。而损失函数的不同，决策树要拟合的值也会不同。就一般而言，对于回归问题的提升树算法来说，若损失函数是平方损失函数，每一步只需简单拟合当前模型的残差。
下面看一下在回归问题下，损失函数为平方损失函数的算法流程：
--------------------------------------------------------------------------------------------
输入：训练数据集T={
}，
；
输出：提升树
(1)初始化
(2)对m=1,2,...,M
(a)计算残差
(b)拟合残差
学习一个回归树，得到
(c)更新
(3)得到回归问题提升树
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2.梯度提升
提升树用加法模型与前向分布算法实现学习的优化过程。当损失函数为平方损失和指数损失函数时，每一步优化是很简单的。但对于一般损失函数而言，往往每一步都不那么容易。对于这问题，Freidman提出了梯度提升算法。这是利用最速下降法的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度在当前模型的值：
作为回归问题在当前模型的残差的近似值，拟合一个回归树。
为什么要拟合负梯度呢？这就涉及到泰勒公式和梯度下降法了。
泰勒公式的形式是这样的：
- 定义：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
- 基本形式：
- 一阶泰勒展开：
梯度下降法
在机器学习任务中，需要最小化损失函数
，其中
是要求解的模型参数。梯度下降法常用来求解这种无约束最优化问题，它是一种迭代方法：选择初值
，不断迭代更新
的值，进行损失函数极小化。
- 迭代公式：
- 将 在 处进行一阶泰勒展开：
- 要使得 ，可取： ，则： ，这里 是步长，一般直接赋值一个小的数。
相对的，在函数空间里，有
此处把
看成提升树算法的第t步损失函数的值，
为第t-1步损失函数值，要使
，则需要
，此处
为当前模型的负梯度值，即第t步的回归树需要拟合的值。
至于GBDT的具体算法流程，在后续回归与分类问题会分开说明。
三、损失函数
在GBDT算法中，损失函数的选择十分重要。针对不同的问题，损失函数有不同的选择。
1.对于分类算法，其损失函数一般由对数损失函数和指数损失函数两种。
(1)指数损失函数表达式：
(2)对数损失函数可分为二分类和多分类两种。
2.对于回归算法，常用损失函数有如下4种。
(1)平方损失函数：
(2)绝对损失函数：
对应负梯度误差为：
(3)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折中产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失误差，而对于靠近中心的点则采用平方损失。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
对应的负梯度误差为：
（4）分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为：
其中
为分位数，需要我们在回归之前指定。对应的负梯度误差为：
对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。
四、回归问题
梯度提升算法（回归问题）流程：
--------------------------------------------------------------------------------------------
输入：训练数据集T={
}，
；损失函数L(y,f(x))；
输出：回归树
(1)初始化
注：估计使损失函数极小化的常数值，它是只有一个根结点的树
(2)对m=1,2,...,M
(a)对i=1,2,...N，计算
注： 计算损失函数在当前模型的值，作为残差的估计
(b)对
拟合一个回归树，得到第m棵树的叶结点区域
,j=1,2,...,J
(c)对j=1,2,...,J，计算
注：在损失函数极小化条件下，估计出相应叶结点区域的值
(d)更新
(3)得到回归树
--------------------------------------------------------------------------------------------
五、分类问题（二分类与多分类）
这里看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合输出类别的误差。
为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法用类似逻辑回归的对数似然函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。此处仅讨论用对数似然函数的GBDT分类。对于对数似然损失函数，我们有又有二元分类和的多元分类的区别。
1.二分类GBDT算法
对于二分类GBDT，如果用类似逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
其中
{-1,1}。此时的负梯度误差为：
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二分类GBDT与GBDT回归算法过程相同。
2.多分类GBDT算法
多分类GBDT比二分类GBDT复杂些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
其中如果样本输出类别为k，则
=1.第k类的概率
的表达式为：
集合上两式，我们可以计算出第t轮的第i个样本对应类别l的负梯度误差为：
观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别l的真实概率和t-1轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为：
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多分类GBDT与二分类GBDT以及GBDT回归算法过程相同。
六、正则化
- 对GBDT进行正则化来防止过拟合，主要有三种形式。
1.给每棵数的输出结果乘上一个步长a（learning rate）。
对于前面的弱学习器的迭代：
加上正则化项，则有
此处，a的取值范围为(0,1]。对于同样的训练集学习效果，较小的a意味着需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起决定算法的拟合效果。
2.第二种正则化的方式就是通过子采样比例(subsample)。取值范围为(0,1]。
推荐[0.5,0.8]。
3.第三种是对弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。（如控制树的最大深度、节点的最少样本数、最大叶子节点数、节点分支的最小样本数等）
七、GBDT优缺点
1.GBDT优点
- 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
- 在相对较少的调参时间情况下，预测的准确率也比较高，相对SVM而言。
- 在使用一些健壮的损失函数，对异常值得鲁棒性非常强。比如Huber损失函数和Quantile损失函数。
2.GBDT缺点
- 由于弱学习器之间存在较强依赖关系，难以并行训练。可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。
八、sklearn参数
在scikit-learning中，GradientBoostingClassifier对应GBDT的分类算法，GradientBoostingRegressor对应GBDT的回归算法。
具体算法参数情况如下：
GradientBoostingRegressor
参数说明：
- n_estimators：弱学习器的最大迭代次数，也就是最大弱学习器的个数。
- learning_rate：步长，即每个学习器的权重缩减系数a，属于GBDT正则化方化手段之一。
- subsample：子采样，取值(0,1]。决定是否对原始数据集进行采样以及采样的比例，也是GBDT正则化手段之一。
- init：我们初始化的时候的弱学习器。若不设置，则使用默认的。
- loss：损失函数，可选{'ls'-平方损失函数，'lad'绝对损失函数-,'huber'-huber损失函数,'quantile'-分位数损失函数}，默认'ls'。
- alpha：当我们在使用Huber损失"Huber"和分位数损失"quantile"时，需要指定相应的值。默认是0.9，若噪声点比较多，可适当降低这个分位数值。
- criterion：决策树节搜索最优分割点的准则，默认是"friedman_mse"，可选"mse"-均方误差与'mae"-绝对误差。
- max_features：划分时考虑的最大特征数，就是特征抽样的意思，默认考虑全部特征。
- max_depth：树的最大深度。
- min_samples_split：内部节点再划分所需最小样本数。
- min_samples_leaf：叶子节点最少样本数。
- max_leaf_nodes：最大叶子节点数。
- min_impurity_split：节点划分最小不纯度。
- presort：是否预先对数据进行排序以加快最优分割点搜索的速度。默认是预先排序，若是稀疏数据，则不会预先排序，另外，稀疏数据不能设置为True。
- validationfraction：为提前停止而预留的验证数据比例。当n_iter_no_change设置时才能用。
- n_iter_no_change：当验证分数没有提高时，用于决定是否使用早期停止来终止训练。
八、GBDT应用场景
GBDT几乎可以用于所有回归问题（线性/非线性），相对loigstic regression仅能用于线性回归，GBDT的适用面非常广。亦可用于分类问题。
