五、其他回归分析
多项式回归
线性回归的局限性是只能应用于存在线性关系的数据中，但是在实际生活中，很多数据之间是非线性关系，虽然也可以用线性回归拟合非线性回归，但是效果会变差，这时候就需要对线性回归模型进行改进，使之能够拟合非线性数据。多项式回归模型是线性回归模型的一种，此时回归函数关于回归系数是线性的。由于任一函数都可以用多项式逼近，因此多项式回归有着广泛应用。
研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归（Polynomial Regression）。如果自变量只有一个时，称为一元多项式回归；如果自变量有多个时，称为多元多项式回归。在一元回归分析中，如果因变量y与自变量x的关系为非线性的，但又找不到适当的函数曲线来拟合，则可以采用一元多项式回归。在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线，而是一个用于拟合数据点的曲线。
多项式回归的最大优点是可以通过增加x的高次项对观测点进行逼近，直到满意为止。多项式回归在回归分析中占有重要地位，因为任意函数都可以分段用多项式逼近。
（1）准备数据
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.uniform(-3,3,size=100) # 产生100个随机数
X = x.reshape(-1,1) # 将x变成矩阵，1行1列的形式
y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0,1,size=100)
# 数据中引入噪声
plt.scatter(x,y)
plt.show()
（2）线性回归
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 线性回归
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X,y)
y_predict = lin_reg.predict(X)
plt.rcParams['font.family']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
plt.title('线性回归')
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y_predict,color='r')
plt.show()
（3）多项式回归
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
# 设置最多添加几次幂的特征项
poly.fit(X)
x2 = poly.transform(X)
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 接下来的代码和线性回归一致
lin_reg2 = LinearRegression()
lin_reg2.fit(x2,y)
y_predict2 = lin_reg2.predict(x2)
plt.scatter(x,y)
plt.plot(np.sort(x),y_predict2[np.argsort(x)],color='r')
plt.title('多项式回归')
岭回归
岭回归（Ridge Regression）是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价，获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的耐受性远远强于最小二乘法。
岭回归主要适用于过拟合严重或各变量之间存在多重共线性的情况，它可以解决特征数量比样本量多的问题，另外，岭回归作为一种缩减算法可以判断哪些特征重要或者不重要，有点类似于降维，缩减算法可以看作是对一个模型增加偏差的同时减少方差。但是岭回归方程的R平方值会稍低于普通回归分析，但回归系数的显著性往往明显高于普通回归，在存在共线性问题和病态数据偏多的研究中有较大的实用价值。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import Ridge,RidgeCV
# Ridge岭回归，RidgeCV带有广义交叉验证的岭回归
data=[
[0.07,3.12],[0.41,3.82],[0.99,4.55],[0.73,4.25],[0.98,4.56],
[0.55,3.92],[0.34,3.53],[0.03,3.15],[0.13,3.11],[0.13,3.15],
[0.31,3.47],[0.65,4.12],[0.73,4.28],[0.23,3.48],[0.96,4.65],
[0.62,3.95],[0.36,3.51],[0.15,3.12],[0.63,4.09],[0.23,3.46],
[0.08,3.22],[0.06,3.19],[0.92,4.63],[0.71,4.29],[0.01,3.08],
[0.34,3.45],[0.04,3.16],[0.21,3.36],[0.61,3.99],[0.54,3.89]]
#生成X和y矩阵
dataMat = np.array(data)
X = dataMat[:,0:1] # 变量x
y = dataMat[:,1] # 变量y
# 岭回归
# model = Ridge(alpha=0.5)
model = RidgeCV(alphas=[0.1,1.0,10.0])
# RidgeCV可以设置多个参数，算法使用交叉验证获取最佳参数值
model.fit(X,y) # 线性回归建模
print('系数矩阵:',model.coef_)
print('线性回归模型:\n',model)
# print('交叉验证最佳alpha值',model.alpha_)
# 只有在使用RidgeCV算法时才有效
# 使用模型预测
predicted = model.predict(X)
# 绘制散点图 参数：x横轴 y纵轴
plt.scatter(X,y,marker='o')
plt.plot(X,predicted,c='r')
# 绘制x轴和y轴坐标
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
# 显示图形
plt.show()
Lasso回归
岭回归无法剔除变量，而Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）回归模型，将惩罚项由L2范数变为L1范数，可以将一些不重要的回归系数缩减为0，达到剔除变量的目的。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import r2_score
# def main()
# 产生一些稀疏数据
np.random.seed(42)
n_samples,n_features = 50,100
X = np.random.randn(n_samples,n_features)
# randn(...)产生的是正态分布的数据
coef = 3* np.random.randn(n_features)
# 每个特征对应一个系数
inds = np.arange(n_features)
np.random.shuffle(inds)
coef[inds[10:]] = 0
# 稀疏化系数--随机地把系数向量1x200的其中10个值变为0
y = np.dot(X,coef)
# 添加噪声：零均值，标准差为 0.01 的高斯噪声
y += 0.01 * np.random.normal(size=n_samples)
# 把数据划分成训练集和测试集
n_samples = X.shape[0]
X_train,y_train = X[:n_samples//2],y[:n_samples//2]
X_test,y_test = X[n_samples//2:],y[n_samples//2:]
# 训练 Lasso 模型
from sklearn.linear_model import Lasso
alpha = 0.1
lasso = Lasso(alpha=alpha)
y_pred_lasso = lasso.fit(X_train,y_train).predict(X_test)
r2_score_lasso = r2_score(y_test,y_pred_lasso)
print("R^2 on test data:%f"% r2_score_lasso)
plt.plot(lasso.coef_,color='gold',linewidth=2,label='Lasso coefficients')
plt.title("Lasso R^2:%f"% r2_score_lasso)
plt.show()
# R^2 on test data:0.518282
逐步回归
在处理多个自变量时，需要使用逐步回归（Stepwise Regression）。逐步回归中，自变量的选择是在一个自动的过程中完成的，其中包括非人为操作。
逐步回归是通过观察统计的值，如R-square，t-stats和AIC指标，来识别重要的变量并通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。
逐步回归是通过观察统计的值，如R-square，t-stats和AIC指标，来识别重要的变量并通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。
常用的逐步回归方法有：
标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。
向前选择法从模型中最显著的预测开始，然后为每一步添加变量。
向后剔除法与模型的所有预测同时开始，然后在每一步消除最小显著性的变量。
逐步回归的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力，是处理高维数据集的方法之一。
如何正确选择回归模型
在多类回归模型中，基于自变量和因变量的类型，数据的维数以及数据的其它基本特征的情况下，选择最合适的技术非常重要。以下是选择正确的回归模型的关键因素：
1. 数据探索是构建预测模型的必然组成部分。在选择合适的模型时，比如识别变量的关系和影响时，它应该首选的一步。
2.比较适合于不同模型的优点，我们可以分析不同的指标参数，如统计意义的参数，R-square，Adjusted R-square，AIC，BIC以及误差项，另一个是Mallows’ Cp准则。这个主要是通过将模型与所有可能的子模型进行对比（或谨慎选择他们），检查在你的模型中可能出现的偏差。
3.交叉验证是评估预测模型最好的方法。在这里，将你的数据集分成两份（一份做训练和一份做验证）。使用观测值和预测值之间的一个简单均方差来衡量你的预测精度。
4.如果你的数据集是多个混合变量，那么你就不应该选择自动模型选择方法，因为你应该不想在同一时间把所有变量放在同一个模型中。
5.它也将取决于你的目的。可能会出现这样的情况，一个不太强大的模型与具有高度统计学意义的模型相比，更易于实现。
6.回归正则化方法（Lasso，Ridge和ElasticNet）在高维和数据集变量之间多重共线性情况下运行良好。
