GOM背包按钮仓库

0.前言

01背包问题具体描述如下：

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1_{Wn，与之相对应的价值为P1}Pn，求出能获得的最大价值。

01背包是最简单的背包问题，在题中每种物品只有一个，所以对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况即可。如果每个物品有无数个则为完全背包，数量不同的物品则为多重背包。本文中，主要针对01背包问题，给出简单思路及GO语言解答实现。

1.实现

01背包的实现根据dp数组的定义不同，主要有两种方法，分别如下。

1.1 使用二维dp数组

此种方法便于理解，但是空间复杂度更大。

dp[i][k]的含义为当物品为0~i、容量为k时，此时能获得的最大的价值。

根据每次是否选取第i个物品，推出递推式：

dp[i][k] = max(dp[i-1][k], dp[i-1][k-weight[i]]+value[i])

在上式中，如果不选取，则dp[i][k]的值会与dp[i-1][k]相同，如果选取，则值为dp[i-1][k-weight[i]]+value[i]。

package main

import "fmt"

func main() {
	n:=0
	cap:=0

	fmt.Println("enter the number of objects:")
	fmt.Scan(&n)

		value :=make([]int,n)
		weight:=make([]int,n)

	fmt.Println("enter the value:")
	for i := 0; i < n; i++ {
		fmt.Scan(&value[i])
	}
	fmt.Println("enter the weight:")
	for i := 0; i < n; i++ {
		fmt.Scan(&weight[i])
	}
	fmt.Println("enter the capacity of bag:")
	fmt.Scan(&cap)
	fmt.Println("the answer is ",bag(weight,value,cap))

}

func bag(weight, value []int, cap int) int {
	dp := make([][]int, len(weight))
	for i := 0; i < len(weight); i++ {
		dp[i] = make([]int, cap+1)
	}
	//初始化dp数组
	for i := weight[0]; i <= cap; i++ {
		dp[0][i] = value[0]
	}
	
	//遍历填充dp数组
	for i := 1; i < len(dp); i++ {
		for k := 1; k <= cap; k++ {
			if k-weight[i] < 0 {
				dp[i][k] = dp[i-1][k]
			} else {
				dp[i][k] = max(dp[i-1][k], dp[i-1][k-weight[i]]+value[i])
			}
		}
	}
	fmt.Println("the dp array is",dp)
	return dp[len(weight)-1][cap]

}

func max(a int, b int) int {
	if a > b {
		return a
	} else {
		return b
	}
}

1.2 使用一维dp数组

在使用二维数组时，i的存在不是必要的。因为物品已经给定，并不需要记录0~i的各个物品选取情况。

dp[j]的含义为容量为j时，此时能获得的最大价值。

递推式与上述方法的核心是一样的，也是根据是否选取第i个物品来更新dp数组：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

在编写代码时，思路也是一样，遍历每个物品，尝试将物品放入，如果放入后能获得更大价值，则更新dp数组的值。

注意：

• 观察递推式，dp[j]是根据dp[j-weight[i]](在dp[j]的左边）推导而来。因此如果dp[j]从左往右更新，会产生错误，因为这个公式建立的基础就是假设dp[j-weight[i]]的值为没有放入i物品的值。如果从左往右更新，可能会导致放入多次物品i。所以dp[j]的更新（遍历容量）要从右往左。

代码如下：

package main

import "fmt"

func main() {
	n:=0
	cap:=0

	fmt.Println("enter the number of objects:")
	fmt.Scan(&n)

		value :=make([]int,n)
		weight:=make([]int,n)

	fmt.Println("enter the value:")
	for i := 0; i < n; i++ {
		fmt.Scan(&value[i])
	}
	fmt.Println("enter the weight:")
	for i := 0; i < n; i++ {
		fmt.Scan(&weight[i])
	}
	fmt.Println("enter the capacity of bag:")
	fmt.Scan(&cap)
	fmt.Println("the answer is ",bag(weight,value,cap))

}

func bag(weight, value []int, cap int) int {
	dp:=make([]int,cap+1)
	for i:=0;i<len(weight);i++{
		for j:=cap;j>=weight[i];j--{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
		}
	}
	fmt.Println("the dp array is",dp)
	return dp[cap]


}

func max(a int, b int) int {
	if a > b {
		return a
	} else {
		return b
	}
}