本系列为作者学习UnityShader入门精要而作的笔记，内容将包括：
- 书本中句子照抄 + 个人批注
- 项目源码
- 一堆新手会犯的错误
- 潜在的太监断更，有始无终
总之适用于同样开始学习Shader的同学们进行有取舍的参考。
文章目录
- 复习
- 知识点复习
- 左右手坐标系
- Unity中的坐标系
- 上章节练习题答案
- 点和向量
- 定义
- 点和向量的区别
- 去看线性代数的本质！
- 向量运算
- 向量加减
- 向量乘除
- 向量模长
- 归一化
- 向量的点积
- 向量叉乘
- 练习题
（该系列笔记中大多数都会复习前文的知识，特别是前文知识非常重要的时候，这是为了巩固记忆，诸位可以直接通过目录跳转）
复习
知识点复习
上节我们学习了笛卡尔坐标系（正交坐标系）。笛卡尔坐标系中包含了以下要素：
- 原点，它是整个坐标系的中心，我们以0坐标代表该点
- n维笛卡尔坐标系中的n个轴都是两两正交的，例如三维笛卡尔坐标系中xy，xz，yz都互相垂直。
我们以每条轴箭头指向的方向为正方向，反向为负方向。以正方向上的单位长度称为基向量（ 或者基底 ，或者标准正交基）。
（在三维软件中，我们喜欢以红色直线代表x轴，绿色直线代表y轴，蓝色直线代表z轴）
左右手坐标系
在三维坐标系中，有两种不同的坐标系——左手坐标系和右手坐标系，判断坐标系是哪种的方法就是如上图所示，伸出左手（右手），大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，如果其中任意两轴方向对齐，而另一条轴方向相反，证明不是当前手的坐标系。
如果两个坐标系都是左手(右手）坐标系的话，那么这两个坐标系经过一系列旋转一定是可以重合的，这种性质被我们称为旋向性 。
在左手坐标系中，判断旋转正方向的方法是左手法则（右手坐标系中则是右手法则）。判断方法是，手虚握坐标轴，大拇指指向正方向，四指弯曲方向就是旋转正方向。
我们之所以要引入坐标系，其根本目的就是为了在空间中描述某个点的位置。而在Unity等等三维软件中，我们固定了一个唯一的初始坐标，才能够统一的描述这个三维软件的空间内的所有物体。
Unity中的坐标系
Unity中，对于模型空间和世界空间，Unity使用的是左手坐标系。
而对于观察空间来说，Unity使用的是右手坐标系。简单来说就是以摄像机为原点的坐标系，再这个坐标系中，摄像机的镜头方向是z轴的负方向（也就是z轴的正方向实际上是从屏幕指向屏幕前的你），这与模型空间和世界空间中的定义相反，z轴的减少意味着场景深度的增加。
上章节练习题答案
- 伸出左手，大拇指指向右方，食指指向前方，发现中指指向下方，和题中坐标系不重合，证明该坐标系是右手坐标系。
- 如下图所示： 左边是一个左手坐标系，右边是一个右手坐标系，我们先找到对应的（0，0，1）点，然后按题目要求绕y轴旋转。其中左手坐标系的旋转方向用左手法则发现正方向是绕y轴顺时针，右手坐标系的旋转方向则用右手法则发现正方向是绕y轴逆时针。因此进行相应旋转，旋转90°后点落在x轴上。二者答案都为（1，0，0）。
在上图中画出的两个坐标系，虽然点的坐标是相同的，但如果将两坐标系原点重合（置于同一空间下），并用左手坐标系来统一描述两点的坐标（忽略右手坐标系的z轴）。那么点1坐标为（1，0，0），点2坐标则为（-1，0，0），如下图4.51所示：
（上图4.50虽然两点重合在了同一坐标，但两个坐标系并不在同一空间，因为z轴的正方向不一致）
- 如图所示： 小球相对于摄像机的深度值为10，而根据视锥方向可知，小球目前在摄像机的镜头前向，而该方向实际上是观察空间的z轴的反方向（从屏幕到屏幕前的人的方向为正方向），因此小球在观察空间的坐标应为（0，1，-10），z值为-10。 而在以摄像机为坐标建立的模型空间下，由于模型空间是左手坐标系，因此用左手对准上图中的x，y轴，发现两个坐标系重合（当然了，因为unity中的坐标系就是左手坐标系嘛），因此确定小球在摄像机的模型空间下的坐标为（0，0，10），因此z值为10。
点和向量
定义
点（point） 是n维空间中的一个位置，它没有大小，宽度这些概念。一个空间是由无数的点构成的，我们可以用任意点的坐标描述物体在该空间中的位置。在二维，三维笛卡尔坐标系中，我们用实数来表示点的坐标，例如，
向量（vector，或者矢量，但我建议还是叫做向量）。几何定义上讲，向量是n维空间中包含了模长（magnitude） 和方向（direction） 的有向线段 。向量与标量（scalar） 要作区分：标量只有模长，没有方向。
对于向量的表示，我们可以使用来表示【实际上我更喜欢用数学的方式
来表示，用箭头更能表示它是有方向的】
其中，a，b代表了其在对应的轴方向上的长度（以坐标系的基向量为单位长度）。
与书中有所不同，接下来我会用小写字母表示标量
用带箭头的字母 表示向量
用大写字母等表示矩阵
如上图所示，一个向量通常由一个箭头表示，我们以箭头方向称为向量的头，另一端称为向量的尾。在坐标系（线性代数）中，以原点为尾，指向的坐标点为头。
（注意，此处我不建议大家看书中原作者对向量的解释，原作者的解释大多是从物理角度出发，但是学习线性代数，我们需要从数学的视角，从数字上和几何上理解向量，因此我依然推荐大家去看b3b1的线性代数的本质 - 01 - 向量究竟是什么？）
原作者说向量可以表示相对于某个点的偏移，因此可以在空间中移动。但是线性代数中不要随便移动一个向量，向量一定以原点为尾，指向的坐标点为头。因为向量是以原点为起点，坐标系的基底为单位长度来描述该向量相对于原点的偏移，因此我们不能随意改变它在坐标系中的位置。
只有在进行向量计算的时候，我们才允许向量移动，将一个向量的头部或尾部对齐到其他向量的头部上。但是最终结果得到的向量，依然是原点为尾，指向的坐标点为头的向量
点和向量的区别
还是看上图，如果我们把点和向量放在同一个坐标系下，我们会发现二者虽然数学上的表示方式一样，但是在空间上，向量是从原点出发，指向目标点的。也就是说任何一个点都可以由一个向量表示。
那么点和向量区别在哪呢？虽然二者都可以用（x，y）来表示，但是注意，向量之所以用这种方式来表示，是因为我们默认它的尾部为原点。实际上应该是(x-0,y-0)。向量的表示实际是两个点之间坐标的差值（顶部点减去尾部点）。
如果我们用矩阵的方式来表示向量：例如。那么实际上表示的是
。
就是当前向量的基向量，对应在这个笛卡尔坐标系下就是x正向上的单位长度，和y正向上的单位长度。
那么如果我们任意改变x和y的值？这样的话，其实意味着对基向量的任意拉伸组合，最终我们可以得到的向量将遍布整个二维空间，我们将其称为基向量所组成的张成空间（span space） 。
如果用向量来遍布整个空间，实在太过拥挤，最终我们会用向量的终点来表示这个向量，因此，向量就表示为了点。
去看线性代数的本质！
好吧，看书中的这些文字其实不如去复习一遍线性代数的本质，接下来部分参考价值不大的内容我就省略过了。
向量运算
向量加减
假设有向量a和向量b，则：
几何上看，向量相加减，则可以用向量计算的三角形法则得出结果向量。矩阵上来看，以左图向量相加为例，我们将b向量移动到对应原点位置成。然后将
在xy轴上的分量进行相加，发现最终结果和三角形法则画出的是一模一样的。
向量乘除
我们可以用一个标量来对向量进行乘除：
还记得标量的英文吗？Scaler ，我认为很形象，如果在几何上看，其实最终结果就是对一个向量进行缩放（拉伸），缩放的英文不就是Scale吗。（上图对于向量的拉伸不太准确，应当保持起点不变，终点拉伸到对应坐标）
向量模长
模长公式：
简单的计算，因为几何上直观来看就是运用了勾股定理。
归一化
想起学习线代时的痛点之一施密特正交化，根据线性无关的向量组构造一个标准正交化向量组。反正怎么正交化已经忘了，但是如何归一化还是记得的。
给定任意非零向量，将其归一化为模长为1的单位向量，归一化公式为：
归一化的单位向量模长为1，因此所有归一化向量可以构成一个单位圆。其落点都在单位圆的圆周上。
在后文章节中，我们将会不断遇到法线方向，光源方向这些概念。由于我们的计算要求往往需要对应的向量是单位向量，因此使用前应当将向量先归一化。
向量的点积
向量的点积公式如下：
点积满足交换律，即：
点积其实本质上计算的是投影与向量的乘积。对于而言，其计算结果实质上是
的投影长度 乘以
什么是投影？假设有一道光源垂直于向量a所在的直线，那么b在a方向上的影子，就是b向量首尾两点作垂直，最后在a方向直线上的连线，这个线段被我们称之为投影。
根据两个向量之间的夹角，点积的符号也不同，若夹角小于90°则结果>0，若等于90°则=0，若大于90°则<0
(推荐视频：07点积与对偶性，解释了为什么点积的公式在几何上的表现是这样的。简单来说，实质上与矩阵乘法
相等，而后者计算结果实际上是将二维矩阵w应用线性变换v使其降维到了一维空间，这个一维空间就是我们用于投影的数轴，降维后的结果就是投影，所以向量点积本质上就是一个将矩阵从二维变换到一维的线性变换。）
从三角函数上看，点积公式还可以表示为下列形式： (其实还是投影乘以模长，投影是
，模长是
)
投影还有一些其他的性质：
向量叉乘
另一个重要的运算是向量的叉乘(cross product) ,也称为外积(outer product) 。
叉乘的公式是：
看起来好复杂好难记，为什么是这样的？
如果用线性代数来表示的话就清晰了：
纠正一下上式子，虽然结果正确，但是没写对的计算。记该矩阵为X
实际上叉乘就是加上一列基向量构成一个新矩阵，并计算该矩阵的行列式。
（为什么要这样，别问我，以线性代数的眼光看叉乘)
记住一个简单的结论就是，两个向量叉乘，最终会得到一个新向量，这个新向量的长度是向量构成的平行四边形的面积，而新向量的方向，由原坐标系指定，且垂直于这个平行四边形。如果你使用右手坐标系，就举起右手，反之使用左手，使得任意两根手指与
对齐，剩下那根的方向就是新向量的方向。
这个叉乘出来的向量的模长由于和平行四边形面积一致，所以我们也可以得到叉乘向量的模长公式：
叉乘是无法交换的，。
从几何意义上去理解点乘和叉乘，就会发现其中奥妙所在，为什么点乘可以交换，而叉乘无法交换：
因为点乘实质上是二维降维成一维，无论二维一维，它们都满足我们之前说的旋向性（handedness），因此可以交换。
而叉乘的三个向量建立了一个非正交的左右手三维坐标系（由原坐标系为左手还是右手指定），如果交换叉乘顺序，则产生的新向量的方向是相反的，就变成了另一只手对应的坐标系，所以结果需要加个负号。
叉乘也不满足结合律：
叉乘最常见的应用就是计算垂直于一个平面、三角形的向量，还可以用于判断三角面片的朝向。
练习题
- 判断题 （1）一个向量的大小不重要，只需要在正确的位置把它画出来即可 （2）点可以被认为是位置向量，这是通过把向量的尾部固定在原点得到的 （3）选择左手坐标系还是右手坐标系很重要，这会影响到叉乘的计算
2.计算题： （1） （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
3.假设场景中有一光源位于处，还有一个点位于
，请问光源到点的距离是？
4.计算下列运算： （1） （2）
（3）
（4）
（5）
5.已知向量a和向量b，a的模长为4，b的模长为6，它们间的夹角为60°，求计算： （ （1）
（2）
6.假设，场景中有一个NPC，它位于点处，它的前方用向量
表示。 （1）假设现在玩家移动到了点
处，那么如何判断玩家在NPC的前方还是后方？使用上述学习的知识来描述。 （2）使用（1）中的描述方法，代入点
来验证答案 （3）现在，NPC只能观察到有限的视角范围，其视角角度为
,也就是视野在前方左侧
到前方右侧
。那么我们如何通过点积来判断NPC是否可以看到点
？ （4）在（3）的基础上，我们又要求NPC只能看见固定距离内的对象，如何判断？
7.在渲染中我们时常会需要判断一个三角面片是正面还是背面，这可以通过判断三角形的3个顶点在当前空间中是顺时针还是逆时针排序来得到。给定三角形的三个顶点、
、
，假设我们使用的是左手坐标系，且
、
、
都位于xy平面上（即它们的z分量都为0），且人眼位于z轴的负方向上，向z轴正方形观察，如图所示：
请问如何判断这三个顶点的顺序是顺时针还是逆时针？
