▪ 随机数
1. random
（1）生成0-1的均匀分布的随机数： random.random() （2）从序列中随机选取一个元素： random.choice() （3）随机生成一个int整数型，可指定范围： random.randint()
2.numpy.random
（1）正态分布函数：np.random.normal() 标准正态分布：np.random.randn() （2）泊松分布函数：np.random.poisson()
（3）均匀分布：np.random.rand() 指定范围均匀分布：np.random.uniform （4）随机整数：np.random.randint()
▪ 其它常用函数、第三方库
1. 操作符号变量： import sympy
（1）定义符号变量：Symbol() （2）定义函数：Function() （3）求解微分方程（组）：dsolve(Eq(等式左边，等式右边)) （4）数值计算：expr.sub(old,new)； lambdify((varName1,varName2),expr,modules)
## sub example
# 数值计算
expr = x**2+1
expr.subs(x, 2)
# 也可做数值替换
new_expr = expr.subs(x, y+z)
## lambdify example
log_normal = 0.5 + 0.5 * sym.erf((sym.log(x) - mu) / sym.sqrt(2 * sigma**2))
F = sym.lambdify([x, mu, sigma], log_normal)
F(1.0, 0.0, 1.0)
# 参考[35][36]2. 动图：animation.Funcanimation()
fig：figure对象
updata：不断更新图像的函数，生成新的xdata和ydata
frames：不断提供frame给updata用于生成新的xdata和ydata
init_func=init：初始化函数为init，自定义开始帧。
interval=1：时间间隔为1ms，interval的单位以ms计算。
blit=True：选择更新所有点，还是仅更新产生变化的点。应选择True，但mac用户请选 择False，否则无法显示。
【以上函数Funcanimation()的参数解释来源参考博文[10]】
主要需要编写两个函数，init()初始化函数和update(n)更新函数，update()中的参数n类似于第几帧，update()写的每一帧呈现的图像。例子可参考博文[4]。
3. 三维图：mpl_toolkits.mplot3d.Axes3D()
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
# 还有一种表现形式：ax = fig.add_subplot(111,projection = '3d')
# ax = fig.gca(projection='3d')
# 参考[32]▪ 微分方程
1.解微分方程组
（1）Python函数
I. scipy.integrate.odeint() II. sympy.dsolve() 【用这个函数求不出来，我放弃了】
（2）
I.常微分方程
做模拟的时候，方程组实在求解不出，就利用差分的形式做更新，eg：对下面的微分方程，令dS(t) = S(t+△t) - S(t) (△t -> 0)。
II.偏微分方程
对于偏微也类似的，可以先固定其它参数，再做差分，我先用symbol()定义参数，之后再做赋值。eg：
像是这样的方程类似的，令∂u/∂t为u(t+△t) - u(t) /dt做更新，但存在一个问题就是u在更新的过程中会越来越复杂（初始为三角函数）以至于计算机在后面的求解中变得很慢。
解决:将二阶导也进行分解
2. 随机微分方程求密度函数
I. Fokker-Planck equation
▪ 随机过程
1. 布朗运动过程
（1）定义：
设{W(t)，-inf < t < inf}为随机过程，如果:
I. W(0) = 0
II. {W(t)，-inf < t < inf}是独立、平稳增量过程
III. 对任意s，t，增量W(t)-W(s)～N(0, σ^2|t-s|) 则称{W(t)，-inf < t < inf}为维纳过程，也称布朗运动过程
（2）模拟：
根据定义中的III，可利用其进行更新:
W(t) = W(s) + W(t) - W(s)
W(t) - W(s)可以根据np.random.normal()函数进行模拟
2. 泊松分布过程
（1）定义：
设计数过程{X(t), t>=0}满足下列条件：
I. X(0) = 0
II. X(t)是独立增量过程
III. 在任意长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λt>0的泊松分布，即对任意s,t>=0有
P{X(t+s) - X(s) = n} = exp(-λt)·(λt)^n/n!
（2）模拟：
利用np.random.poisson()
3. lévy过程
（1）定义：
随机过程{L(t)，t>=0}成为lévy过程，如果：
I. L(0) = 0
II. L(t)是独立平稳增量过程
III. L(t)是随机连续的，i.e. 对于任意的a>0，对于每个s>=0均满足
P(|L(t)-L(s)|>a) -> 0 (t -> s)
（2）模拟：
在想要做lévy过程的随机模拟时，从定义上看是lévy过程是一个大类，没有具体的分布去做模拟，直到看到参考[31]，如下：
I. Mantegna方法
按照Mantegna方法的公式计算得到的s作为levy过程的增量
II. （补充修正）
由Levy辛钦定理和伊藤分解定理知Levy过程可分解为高斯过程和复合泊松过程[40]：
4.分数布朗运动
