02 图像导数

在整个图像处理的学习过程中可以看到，在很多应用中图像强度的变化情况是非常重要的信息。强度的变化可以用灰度图像I(对于彩色图像，通常对每个颜色通道分别计算导数)的x和y的方向导数和进行描述。

图像的梯度向量为：

梯度有两个重要的属性，一个是梯度的大小：


它描述了图像变化的强弱，一是梯度的角度：


它描述了图像中在每个点(像素)上强度变化最大的方向。NumPy中的arctan2()函数返回弧度表示的有符号角度，角度的变化区间为。

我们可以用离散近似的方式来计算图像的导数。图像的导数大多可以通过卷积简单地实现：


对于和，通常选择Prewitt滤波器：


Prewitt边缘算子是一种边缘样板算子，利用像素点上下，左右邻点灰度差，在边缘处达到极值检测边缘，对噪声具有平滑作用。由于边缘点像素的灰度值与其领域点像素的灰度值有显著不同，在实际应用中通常采用微分算子和模板配匹方法检测图像的边缘。

或者使用Sobel滤波器，Sobel算法是一种较成熟的微分边缘检测算法，它计算简单，且能产生较好的检测效果，对噪声具有平滑作用，可以提供较为精确的边缘方向信息。


Sobel算子是一阶导数的边缘检测算子，使用两个方向算子(垂直算子和水平算子)，对图像进行卷积运算，得到两个矩阵，再求这两个矩阵对应位置的两个数的均方根，得到一个新的矩阵，即为灰度图像矩阵中各个像素点的梯度值。在算法实现过程中，通过3×3模板作为核与图像中的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值以提取边缘。

其实图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。但是图像以矩阵的形式存储的，不能像数学理论中对直线或者曲线求导一样，对一幅图像的求导相当于对一个平面、曲面求导。对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板(Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子)对原图像进行卷积，不过这里的模板并不是随便设计的，而是根据数学中求导理论推导出来的。

这些导数滤波器可以使用scipy.ndimage.filters模块的标准卷积操作来简单地实现。

代码为：

PIL Imagenumpy *matplotlib.pyplot pltscipy.ndimage filtersim = array(Image.open().convert())imx = zeros(im.shape)filters.sobel(imimx)imy = zeros(im.shape)filters.sobel(imimx)magnitude = sqrt(imx ** + imy ** )fig = plt.figure(=())plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(implt.cm.gray)plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(imxplt.cm.gray)plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(imyplt.cm.gray)plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(magnitudeplt.cm.gray)plt.show()

输出结果为：



▲上述输出结果分别是原始灰度图像、x导数图像、y导数图像、梯度大小图像

这种计算图像导数的方法有一些缺陷，在该方法中，滤波器的尺度需要随着图像分辨率的变化而变化。为了在图像噪声方面更稳健，以及在任意尺度上计算导数，我们使用高斯导数滤波器：


其中和表示在x和y方向上的导数，为标准差为σ的高斯函数。

我们之前用于模糊的filters.gaussian_filter()函数可以接受额外的参数，用来计算高斯导数。可以简单的按照下面的方式来处理：

PIL Imagenumpy *matplotlib.pyplot pltscipy.ndimage filtersim = array(Image.open().convert())sigma = imx = zeros(im.shape)filters.gaussian_filter(im(sigmasigma)()imx)imy = zeros(im.shape)filters.gaussian_filter(im(sigmasigma)()imy)fig = plt.figure(=())plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(implt.cm.gray)plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(imxplt.cm.gray)plt.subplot()plt.axis()plt.imshow(imyplt.cm.gray)plt.show()

输出结果为：


(a)


(b)

上面输出结果(a)、(b)中图片依次为：原始灰度图像，x导数图像，y导数图像，而(a),(b)的区别为设置不同的标准差之后的高斯滤波处理图像。

作者：Hui