1. Kmeans聚类算法原理
1.1 概述
K-means算法是集简单和经典于一身的基于距离的聚类算法
采用距离作为相似性的评价指标，即认为两个对象的距离越近，其相似度就越大。
该算法认为类簇是由距离靠近的对象组成的，因此把得到紧凑且独立的簇作为最终目标。
1.2 算法图示
假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。
从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些，如图所示：
我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，给它们标上不同的颜色，如图：
1.3 算法要点
1.3.1 核心思想
通过迭代寻找k个类簇的一种划分方案，使得用这k个类簇的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。
k个聚类具有以下特点：各聚类本身尽可能的紧凑，而各聚类之间尽可能的分开。
k-means算法的基础是最小误差平方和准则,
其代价函数是：
式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。
各类簇内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。
上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。
1.3.2 算法步骤图解
下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。
1.3.3 算法实现步骤
k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：
- 随机选取 k个聚类质心点
- 重复下面过程直到收敛 {
对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：
对于每一个类 j，重新计算该类的质心：
}
其伪代码如下：
********************************************************************
创建k个点作为初始的质心点（随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
对数据集中的每一个数据点
对每一个质心
计算质心与数据点的距离
将数据点分配到距离最近的簇
对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心
2. Kmeans分类算法Python实战
2.1 需求
对给定的数据集进行聚类
本案例采用二维数据集，共80个样本，有4个类。样例如下：
testSet.txt
1.658985 4.285136 -3.453687 3.424321 4.838138 -1.151539 -5.379713 -3.362104 0.972564 2.924086 -3.567919 1.531611 0.450614 -3.302219 -3.487105 -1.724432 2.668759 1.594842 -3.156485 3.191137 3.165506 -3.999838 -2.786837 -3.099354 4.208187 2.984927 -2.123337 2.943366 0.704199 -0.479481 -0.392370 -3.963704 2.831667 1.574018 -0.790153 3.343144 2.943496 -3.357075 |
2.2 python代码实现
2.2.1 利用numpy手动实现
from numpy import * #加载数据 def loadDataSet(fileName): dataMat = [] fr = open(fileName) for line in fr.readlines(): curLine = line.strip().split('\t') fltLine = map(float, curLine) #变成float类型 dataMat.append(fltLine) return dataMat
# 计算欧几里得距离 def distEclud(vecA, vecB): return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))
#构建聚簇中心，取k个(此例中为4)随机质心 def randCent(dataSet, k): n = shape(dataSet)[1] centroids = mat(zeros((k,n))) #每个质心有n个坐标值，总共要k个质心 for j in range(n): minJ = min(dataSet[:,j]) maxJ = max(dataSet[:,j]) rangeJ = float(maxJ - minJ) centroids[:,j] = minJ + rangeJ * random.rand(k, 1) return centroids
#k-means 聚类算法 def kMeans(dataSet, k, distMeans =distEclud, createCent = randCent): m = shape(dataSet)[0] clusterAssment = mat(zeros((m,2))) #用于存放该样本属于哪类及质心距离 centroids = createCent(dataSet, k) clusterChanged = True while clusterChanged: clusterChanged = False; for i in range(m): minDist = inf; minIndex = -1; for j in range(k): distJI = distMeans(centroids[j,:], dataSet[i,:]) if distJI < minDist: minDist = distJI; minIndex = j if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True; clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2 print centroids for cent in range(k): ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A == cent)[0]] # 去第一列等于cent的所有列 centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis = 0) return centroids, clusterAssment |
2.2.2 利用scikili库实现
Scikit-Learn是基于python的机器学习模块，基于BSD开源许可证。
scikit-learn的基本功能主要被分为六个部分，分类，回归，聚类，数据降维，模型选择，数据预处理。包括SVM，决策树，GBDT，KNN，KMEANS等等
Kmeans在scikit包中即已有实现，只要将数据按照算法要求处理好，传入相应参数，即可直接调用其kmeans函数进行聚类
################################################# # kmeans: k-means cluster ################################################# from numpy import * import time import matplotlib.pyplot as plt ## step 1:加载数据 print "step 1: load data..." dataSet = [] fileIn = open('E:/Python/ml-data/kmeans/testSet.txt') for line in fileIn.readlines(): lineArr = line.strip().split('\t') dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) ## step 2: 聚类 print "step 2: clustering..." dataSet = mat(dataSet) k = 4 centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k) ## step 3:显示结果 print "step 3: show the result..." showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment) |
2.2.3 运行结果
不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。
- Kmeans算法补充
3.1 kmeans算法缺点
k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：
（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：
（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：
（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：
（4）数据集比较大的时候，收敛会比较慢。
3.2 改良思路
k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也已有了对应方法进行了某种程度上的改良。例如：
- 问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k
- 问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感
