Java 两个字符串集合 差集 java两个字符串相乘

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• 字符串相乘

• 题目

• 示例 1
• 示例 2
• 提示

• 解答

• 解题思路
• 完整代码

字符串相乘

题目

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

注意：不能使用任何内置的 BigInteger 库或直接将输入转换为整数。

示例 1

输入: num1 = “2”, num2 = “3”
输出: “6”

示例 2

输入: num1 = “123”, num2 = “456”
输出: “56088”

提示

• 1 <= num1.length, num2.length <= 200
• num1 和 num2 只能由数字组成。
• num1 和 num2 都不包含任何前导零，除了数字0本身。

解答

解题思路

令 m 和 n 分别表示 $\textit{num}_1$ 和 $\textit{num}_2$ 的长度，并且它们均不为 0，则 $\textit{num}_1$ 和 $\textit{num}_2$ 的乘积的长度为 $m+n-1 或 m+n$。简单证明如下：

• $如果 \textit{num}_1 和 \textit{num}_2 都取最小值，则 \textit{num}_1=10^{m-1}，\textit{num}_2=10^{n-1}，\textit{num}_1 \times \textit{num}_2=10^{m+n-2}，乘积的长度为 m+n-1$；
• $如果 \textit{num}_1 和 \textit{num}_2 都取最大值，则 \textit{num}_1=10^m-1，\textit{num}_2=10^n-1，\textit{num}_1 \times \textit{num}_2=10^{m+n}-10^m-10^n+1，乘积显然小于 10^{m+n} 且大于 10^{m+n-1}，因此乘积的长度为 m+n。$

由于 $\textit{num}_1$ 和 $\textit{num}_2$ 的乘积的最大长度为 $m+n$，因此创建长度为 $m+n$ 的数组 $\textit{ansArr} $用于存储乘积。对于任意$0 \le i < m 和 0 \le j < n$，$\textit{num}_1[i] \times \textit{num}_2[j]$的结果位于 $\textit{ansArr}[i+j+1]$，如果 $\textit{ansArr}[i+j+1] \ge 10$，则将进位部分加到 $\textit{ansArr}[i+j]$。
最后，将数组 $\textit{ansArr}$转成字符串，如果最高位是 0 则舍弃最高位。
还可以用另外一种方法改写。我们把两个数相乘看成是两个多项式相乘，因为任何一个数都可以表示成为
$\sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \times 10^i$
的形式，也就相当于对多项式$A(x) = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} a_i x^i$
在 x = 10 处求值。当两个数 $N_a、N_b$相乘的时候，我们也可以认为这两个数是两个多项式
$\left\{ \begin{aligned} & A(x) = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} a_i x^i \\ & B(x) = \sum_{i = 0} ^ {m - 1} b_i x^i \end{aligned} \right.$
相乘的结果 C(x) = A(x) \times B(x) 在 x = 10 处求值。我们可以这样表示 C(x)：$C(x) = \sum_{i = 0}^{n + m - 2} c_i x^i$
这里$c_i = \sum_{k = 0} ^ {i} a_k b_{i - k}$
于是我们就可以顺序求解 $c_i$，每次 $O(i)$地选取下标和为 i 的一组 $(a_k, b_{i - k})$。求到 $c_i$

• 顺序求解 $c_i$的过程相当于集中计算 $c_i$
• 而方法二相当于每对 $(a_i, b_j)$对 $c_{i + j}$算贡献（注意这里的 $a_i$并不是题目中的 ${\it num}_1[i]$，$a_i $下标越小，代表的位权越小，而 ${\it num}_1[i]$下标越小，代表的位权越大）

它们的本质是一样的，并且时间复杂度都是 $O(\max \{ n, m\} ^2)$。我们再仔细的观察 c_i 的形式：
$c_i = \sum_{k = 0}^{i} a_k b_{i - k}$
它揭示了多项式乘法的另一面：c_i 序列其实是 a_i 序列和 b_i 序列的卷积，即：
$\vec{c} = \vec{a} * \vec{b}$

完整代码

class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
        if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
            return "0";
        }
        int m = num1.length(), n = num2.length();
        int[] ansArr = new int[m + n];
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            int x = num1.charAt(i) - '0';
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
                int y = num2.charAt(j) - '0';
                ansArr[i + j + 1] += x * y;
            }
        }
        for (int i = m + n - 1; i > 0; i--) {
            ansArr[i - 1] += ansArr[i] / 10;
            ansArr[i] %= 10;
        }
        int index = ansArr[0] == 0 ? 1 : 0;
        StringBuffer ans = new StringBuffer();
        while (index < m + n) {
            ans.append(ansArr[index]);
            index++;
        }
        return ans.toString();
    }
}