动态规划基础题目 python 动态规划算法 python

1、主要思想

从最简单情况开始到达所需找零的循环，其每一步都依靠以前的最优解来得到本步骤的最优解，直到得到答案。

2、例子

（1）找零兑换问题

1）引入

假设你为一家自动售货机厂家编程序，自动售货机要每次找给顾客最少数量硬币；
假设某次顾客投进$1纸币，买了ȼ37的东西，要找ȼ63，那么最少数量就是： 2个quarter（ȼ25）、 1个dime（ȼ10）和3个penny（ȼ1），一共6个
但面对特殊的货币体系，如ȼ21也在货币体系中时，该如何解决呢？

2）思路

动态规划算法采用了一种更有条理的方式来得到问题的解，找零兑换的动态规划算法从最简单的“1分钱找零”的最优解开始， 逐步递加上去， 直到我们需要的找零钱数。 在找零递加的过程中， 设法保持每一分钱的递加都是最优解， 一直加到求解找零钱数， 自然得到最优解。

递加的过程能保持最优解的关键是， 其依赖于更少钱数最优解的简单计算， 而更少钱数的最优解已经得到了。问题的最优解包含了更小规模子问题的最优解， 这是一个最优化问题能够用动态规划策略解决的必要条件。

以下图为例，采用动态规划来解决11分钱的兑换问题，从1分钱兑换开始，逐步建立一个兑换表。

计算11分钱的兑换法， 我们做如下几步：

首先减去1分硬币，剩下10分钱查表最优解是1

然后减去5分硬币，剩下6分钱查表最优解是2

最后减去10分硬币，剩下1分钱查表最优解是1

通过上述最小值得到最优解： 2个硬币

3）代码实现

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins,coinsUsed):
   for cents in range(change+1):
      coinCount = cents
      newCoin = 1
      for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
            if minCoins[cents-j] + 1 < coinCount:
               coinCount = minCoins[cents-j]+1
               newCoin = j
      minCoins[cents] = coinCount
      coinsUsed[cents] = newCoin
   return minCoins[change]

def printCoins(coinsUsed,change):
   coin = change
   while coin > 0:
      thisCoin = coinsUsed[coin]
      print(thisCoin)
      coin = coin - thisCoin

if __name__ == '__main__':
    amnt = 100
    clist = [1,5,10,21,25]
    coinsUsed = [0]*(amnt+1)
    coinCount = [0]*(amnt+1)

    print("Making change for",amnt,"requires")
    print(dpMakeChange(clist,amnt,coinCount,coinsUsed),"coins")
    print("They are:")
    printCoins(coinsUsed,amnt)
    print("The used list is as follows:")
    print(coinsUsed)

（2）图书馆大盗问题

1）引入

大盗潜入博物馆， 面前有5件宝物， 分别有重量和价值， 大盗的背包仅能负重20公斤， 请问如何选择宝物， 总价值最高？

2）思路

我们把m(i, W)记为：前i(1<=i<=5)个宝物中，组合不超过W，(1<=W<=20) 重量，得到的最大价值，m(i, W)应该是m(i-1, W)和m(i-1, W-Wi)+vi，两者最大值，我们从m(1, 1)开始计算到m(5, 20)

3）代码实现

①动态规划

# 宝物的重量和价值
tr = [None,{'w':2,'v':3},{'w':3,'v':4},{'w':4,'v':8},{'w':5,'v':8},{'w':9,'v':10}]

# 大盗最大承重
max_w = 20

# 初始化二维表格m[(i,w)]
# 表示前i个宝物中，最大重量w的组合，所得到的最大价值
# 当i什么都不取，或w上限为0，价值为0
m = {(i,w):0 for i in range(len(tr)) for w in range(max_w+1)}

# 逐个填写二维表格
for i in range(1,len(tr)):
    for w in range(1,max_w + 1):
        if tr[i]['w'] > w: #装不下第i个宝物
            m[(i,w)] = m[(i-1,w)] #不装第i个宝物
        else:
            # 不装第i个宝物，装第i个宝物，两种情况下的最大价值
            m[(i, w)] = max(m[(i - 1, w)],m[(i - 1, w-tr[i]['w'])]+tr[i]['v'])

# 输出结果
print(m[(len(tr)-1,max_w)])

②带记忆化的递归算法

# 宝物的重量和价值
tr = {(2,3),(3,4),(4,8),(5,8),(9,10)}

# 大盗最大承重
max_w = 20

# 初始化二维表格m
# key是（宝物组合，最大重量），value是最大价值
m = {}

def thief(tr,w):
    if tr==set() or w==0:
        m[(tuple(tr),w)] = 0 #tuple是key的要求
        return 0
    elif (tuple(tr),w) in m:
        return m[(tuple(tr),w)]
    else:
        vmax = 0
        for t in tr:
            if t[0]<=w:
                # 逐个从集合中去掉某个宝物，递归调用
                v = thief(tr-{t},w-t[0])+t[1]
                vmax = max(vmax,v)
        m[(tuple(tr),w)] =vmax
        return vmax

# 输出结果
print(thief(tr,max_w))