麦克斯韦架构图 麦克斯韦组

麦克斯韦方程组

目录

• 麦克斯韦方程组

• 梯度、散度和旋度

• \(\nabla\)算子
• 梯度
• 散度
• 旋度
• 梯无旋、旋无散

• 麦克斯韦方程组

• 电场

• 电荷守恒定律
• 静电场

• 磁场

• 毕奥-萨伐尔定律
• 磁场
• 法拉第电磁感应定律

• 电容器

• 麦克斯韦方程组

梯度、散度和旋度

\(\nabla\)算子

\(\nabla\)最早是由哈密尔顿作为一个记号用作四元数的运算，我暂时将它理解成一个普通的三维矢量

$\[\nabla = \dfrac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \dfrac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \dfrac{\partial}{\partial z}\vec{k} \]$

麦克斯韦在统一电磁理论的过程中用到了它。

梯度

当\(\nabla\)作用于变量时可以得到该标量在空间中的梯度，梯度是一个矢量场，表示\(s\)在空间内某个位置沿某个方向的变化量。

$\[grad s = \nabla {s} = \dfrac{\partial s}{\partial x}\vec{i} + \dfrac{\partial s}{\partial y}\vec{j} + \dfrac{\partial s}{\partial z}\vec{k} \]$

在某一特定方向\(\vec{e}\)上的梯度

$\[\nabla {s} \cdot \vec{e} = |\nabla{s}|\cos(\nabla{s}, \vec{e}) \]$

当\(\cos(\nabla {s}, \vec{e})=1\)时，即梯度方向与该方向相同时，梯度的值最大。

在标量场中，将等值的点连成线，可以借助等值线研究标量场随位置变化的特征：沿等值线法向，标量场变化所需的距离最短，垂直法向，标量场的值不变，标量场沿法向的变化率表示为

$\[\lim_{l\rightarrow 0}\dfrac{s_t-s_0}{l} \]$

为这个极限加上法向方向，定义梯度为\(grad s\)

$\[grad s = \lim_{l\rightarrow0}\dfrac{s_t-s_0}{l}\vec{e_n} = \dfrac{\partial s}{\partial l}\vec{e_n} \]$

将标量场放到平面直角坐标系中研究，

$\[\begin{aligned} &s(x+\Delta x,y+\Delta y)-s(x,y) = \dfrac{\partial s}{\partial x}\Delta x + \dfrac{\partial s}{\partial y}\Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2})\\ 其中，&\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = l\\ 则&\lim_{l\rightarrow 0}\dfrac{s(x+\Delta x,y+\Delta y)-s(x,y)}{l} = \dfrac{\partial s}{\partial x}\cos\alpha + \dfrac{\partial s}{\partial y}\sin\alpha,(\alpha为梯度与x轴夹角) \end{aligned} \]$

散度

\(\nabla\)与一个矢量点乘得到矢量场的散度，表示空间内流出或流入某一区域的矢量的多少，表达式如下

$\[div \vec{v} = \nabla \cdot {\vec{v}} =\dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial v}{\partial z} \]$

计算流体的流量，设流速方向与截面法矢量\(\vec{s}\)的夹角为\(\theta\)，流量可以表示为$\(\varPhi = \rho vS \cos\theta = \rho \vec{v}\cdot \vec{s}\)$

流速方向与截面法矢量方向成锐角时通量取正（一般将截面由里指向外定义为截面法向，即矢量场的源在曲面内部）如果曲面闭合，通量可以写成\(\varPhi = \displaystyle\oiint_S \vec{v}\cdot d\vec{s}\)。我们要想了解到场中的某个点的特征，就需要将闭合曲面不断缩小，同时包围的体积也在缩小，用\(\dfrac{\varPhi}{V_s}\)来描绘矢量场中的某个点的特征

$\[div \vec{v} = \lim_{S\rightarrow P}\dfrac{\varPhi}{V_S} = \lim_{S\rightarrow P}\dfrac{1}{V_S}\oiint_{S} \vec{v}\cdot d\vec{s} \]$

当我们把矢量放到坐标系中研究，矢量沿\(x,y,z\)轴都具有通量，设三个方向的通量分别为\(\varPhi_x,\varPhi_y,\varPhi_z\)，则

$\[\begin{aligned} \varPhi &= \varPhi_x + \varPhi_y + \varPhi_z = \iint_{S_x}\vec{v_x}\cdot d \vec{s_x} + \iint_{S_y}\vec{v_y}\cdot d \vec{s_y} + \iint_{S_z}\vec{v_z}\cdot d \vec{s_z}\\ div \vec{v} &= \lim_{S\rightarrow P}\dfrac{\varPhi}{V_S} = \lim_{S\rightarrow P} \dfrac{\varPhi_x + \varPhi_y + \varPhi_z}{V_S}\\ &= \dfrac{\partial{v_x}}{\partial x} + \dfrac{\partial{v_y}}{\partial y} + \dfrac{\partial{v_z}}{\partial z} \end{aligned} \]$

从推导出的表达式可以看出，散度是一个标量，是某点通量对体积的变化率，表示该点出场源的强度。

$\[\iiint_V \nabla \cdot \vec{v}dV = \oiint_S \vec{v}\cdot d\vec{S} \]$

通量和散度都可以反映场的“源”，通量宏观定义在了一个曲面上，而散度围观定义在了某个小区域上。从散度的角度出发，将所有的源头流出的通量积分就得到了通过曲面的通量。

旋度

\(\nabla\)与矢量的叉乘得到矢量场的旋度，代表矢量做旋转运动的方向和强度

$\[rot \vec{v} = \nabla \times {\vec{v}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial x}\\ v_x & v_y & v_z\\ \end{vmatrix} = (\dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z})\vec{i} + (\dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x})\vec{j} + (\dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y})\vec{k} \]$

矢量沿某条有向曲线的积分为

$\[\Gamma = \oint_C \vec{v}\cdot d \vec{l} \]$

称为矢量沿有向曲线的环流量。与通量和散度的关系类似，想要了解矢量场中某点的“涡旋”特征，可以将包围该点的闭合曲线缩到该点，类似地，考虑环流量与\(S_L\)比值的极限

$\[\lim_{L\rightarrow P}\dfrac{\Gamma}{S_L} = \dfrac{1}{S_L}\oint_L \vec{v}\cdot d\vec{l} \]$

环流量对面积的变化率（环流量密度）反映了矢量场在某点的环流量强度。与散度不同的是，包含某个点的闭合曲线所围区域的法向有无数种，因此我们需要指明其所指向的方向。在所有的方向中，有唯一一个使得矢量\(\vec{v}\)的环流量密度取最大值，将这个方向对应的矢量记作\(rot \vec{v}\).

接下来，我们将旋度放在坐标系中，将其沿\(x,y,z\)轴方向分解：

沿\(x\)轴分解，投影到\(yOz\)平面上（取右手螺旋方向为正），

$\[\begin{aligned} &\oint_{L_x} \vec{v}\cdot d\vec{l} = v_{y+} \Delta y + v_{z+} \Delta z -v_{y-}\Delta y - v_{z-}\Delta z\\ &\dfrac{\oint_{L_x} \vec{v}\cdot d\vec{l}}{S_{yOz}} = \dfrac{\oint_{L_x} \vec{v}\cdot d\vec{l}}{\Delta y \Delta z} = \dfrac{v_{z+}-v_{z-}}{\Delta y} - \dfrac{v_{y-}-v_{y+}}{\Delta z}\\ &\lim_{\Delta y\rightarrow 0,\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{v_{z+}-v_{z-}}{\Delta y} - \dfrac{v_{y-}-v_{y+}}{\Delta z} = \dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z}\\ \end{aligned} \]$

同理，沿\(y\)轴的分量为$\(\dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x}\)，$沿\(z\)轴的分量为$\(\dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y}\)，$综上，在直角坐标系中旋度表示为

$\[rot \vec{v} = (\dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z})\vec{i} + (\dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x})\vec{j} + (\dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y})\vec{k} \]$

类似的，矢量\(\vec{v}\)的环量与散度有如下关系，

$\[\iint_S (\nabla \times \vec{v})\cdot d\vec{S} = \oint_L \vec{v}\cdot d\vec{l} \]$

梯无旋、旋无散

按照四元数乘法法则，

$\[\begin{aligned} \nabla \nabla &= -\nabla \cdot \nabla + \nabla \times \nabla\\ &=-(\dfrac{\partial ^ 2}{\partial x ^ 2} + \dfrac{\partial ^ 2}{\partial y ^ 2} + \dfrac{\partial ^ 2}{\partial z ^ 2}) + (\vec{i}\vec{j} + \vec{j}\vec{i})\dfrac{\partial ^ 2}{\partial{x}\partial{y}} + (\vec{j}\vec{k} + \vec{k}\vec{j})\dfrac{\partial ^ 2}{\partial{y}\partial{z}} + (\vec{k}\vec{i} + \vec{i}\vec{k})\dfrac{\partial ^ 2}{\partial{x}\partial{z}}\\ &= -\nabla ^ 2 \end{aligned} \]$

得到的\(\nabla ^ 2\)称为拉普拉斯算子。

将两个拉普拉斯算子与一个标量相乘：

如果先算前两个，则有

$\[\begin{aligned} \nabla \nabla s&= -\nabla ^ 2 s \end{aligned} \]$

如果先算后两个，则有，

$\[\begin{aligned} \nabla \nabla s&= \nabla(\nabla s)\\ &= -\nabla \cdot \nabla {s}+ \nabla \times \nabla{s}\\ \end{aligned} \]$

乘法具有结合律，则两次的一定相同，则$\(\nabla \times \nabla s = 0\)，$即梯度的旋度为0.

将两个拉普拉斯算子与一个矢量相乘：

先算前两个，则有

$\[\begin{aligned} \nabla \nabla \vec{v}&= -\nabla ^ 2 \vec{v} \end{aligned} \]$

先算后两个，则有

$\[\begin{aligned} \nabla \nabla \vec{v} &= \nabla (-\nabla \cdot \vec{v} + \nabla \times \vec{v})\\ &= -\nabla(\nabla \cdot \vec{v}) + \nabla (\nabla \times \vec{v})\\ &= -\nabla(\nabla \cdot \vec{v}) + (-\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) + \nabla \times(\nabla \times \vec{v}))\\ \end{aligned} \]$

对比这两个结果，

$\[\left\{ \begin{aligned}$ &标量部分：$&-\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = 0，$即旋度的散度为0\\ &矢量部分：$&-\nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = -\nabla ^ 2 \vec{v}\\ \end{aligned} \right. \]$

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组描述电场和磁场的通量和环量特征，微分形式就是在微观角度考察场中的某个点，即矢量的散度和旋度

电场

电荷守恒定律

对于电路中的电流来说，用电流强度\(I\)衡量它的大小，定义单位横截面上的电流大小为电流密度\(j\)，方向垂直于电流方向的单位横截面，也就是说电流密度是一个矢量，满足\(dI = j \cdot d\vec{S}\)

电荷守恒定律：从\(S\)面流出的电量等于这段时间内\(S\)面包含的电荷的减少量，单位时间内有

$\[\begin{aligned} &\oiint_S \vec{j}\cdot d\vec{S} = -\Delta q\\ &\nabla \cdot \vec{j} = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t}(微分形式)\\ \end{aligned} \]$

静电场

以点电荷为例，电场线由电荷向四周发散，与以电荷为球心的球面处处垂直，对于半径为\(r\)的闭合球面，电场线的通量为

$\[\oiint_S E\cdot dS = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = \dfrac{q}{\varepsilon_0}(高斯定理) \]$

通过表达式可以看出，高斯定理是利用矢量场的通量来描述矢量场。

在静电场中移动检验电荷，静电力做功只与始末位置有关，

$\[\int_A^B qE \cdot dl = \dfrac{qq}{4\pi \varepsilon_0}(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}) \]$

如果始末位置重合，上述积分为\(0\)，可以得到

\[\oint_l E\cdot dl = 0(静电场的环路定理) \]

磁场

毕奥-萨伐尔定律

毕奥和萨伐尔通过实验得出了电流对磁极的作用力\$(d\vec{F} = k\dfrac{I\times dl}{r^2}\)，$安培在同时期通过实验确定里两个电流源之间作用力的规律\(dF = k\dfrac{(I_1dl_1)(I_2dl_2)}{r^2}\)，两个规律均满足平方反比律。电流元之间作用的媒介是电流激发的磁场，为描述这个场，类比于电场强度的定义，我们根据检验电流元所受的安培力定义磁感应强度$，\(dF = d\vec{B_1}\times (I_2dl),dB = k\dfrac{Id\vec{l}}{r^2}\)，$比例系数\$(k = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\)，$则有

$\[dB = \dfrac{\mu_0}{4 \pi}\dfrac{Idl\times \vec{e_r}} {r^2} \]$

磁场

以通电直导线为例，场源电流是恒定电流，磁感线是封闭曲线，那么通电直导线激发的磁场对闭合曲面来说，磁场的通量为\(0\).

以距导线半径为\(r\)的磁感线为路径，根据毕奥-萨伐尔定律，此路径上各处的磁感应强度为\(B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\)，磁场在这条闭合路径的环量为

$\[\oint_L B \cdot dl = B\cdot 2\pi r = \mu_0 I(磁场的环路定理) \]$

这里\(I\)指的是穿过以\(L\)为边界的区域的电流。

法拉第电磁感应定律

通过电路的磁通量发生变化时，产生感应电动势，其大小取决于磁通量变化的快慢，如果电路闭合，就会产生感应电流，表达式如下

$\[E = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{d}{dt}\iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} \]$

在电路中，电动势表示单位正电荷从电源负极移动到正极时，非静电力做的功，非静电力由负极指向正极，表达式中的负号表示非静电力的方向。闭合电路中感应电流使它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化（楞次定律），那么原磁通量变化需要外界提供能量，原磁通量变化才会产生感应电流，这个负号就表示了这个过程中的能量守恒。

动生电动势是导体中的自由电荷收到非静电力（洛伦兹力）发生了定向移动。对于感生电动势，电荷受到的非静电力是变化的磁场本身引起的，变化的磁场会激发电场，在闭合电路中，激发电场使电荷发生定向移动，产生感应电流，这种激发电场不是静电场，其电场线是闭合的，称为涡旋电场。

对于闭合回路来说，涡旋电场对电荷的非静电力做功为

$\[W = \oint_L q\vec{E} \cdot d\vec{l} = -\iint_S \dfrac{\partial B}{\partial t}\cdot dS \]$

当磁场没有变化时，即为静电场的环路定理，

$\[\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\iint_S \dfrac{\partial B}{\partial t}\cdot dS \]$

电容器

如果电路中有电容器，就会存在充电和放电现象，此时电流是变化的，再次考虑磁场的环路定理，对于一个闭合曲线\(L\)，通过以它为边界的不同闭合曲面的电流可能不相等，计算得到的磁场的环量也不同，此时电荷守恒定律与磁场的环路定理产生了矛盾。

电极板上的电量会因为充放电而发生变化，根据电场的高斯定理$\(\displaystyle\oiint_S E\cdot dS = \dfrac{q}{\varepsilon_0}\)$，其中\(E\)是电容器中的电场强度

$\[\begin{aligned} &\oiint_S j\cdot dS = -\dfrac{dq}{dt} = -\varepsilon_0\oiint_S\dfrac{\partial E}{\partial t}\cdot dS\\ 则&\oiint_S(j+\varepsilon_0\dfrac{\partial E}{\partial t})\cdot dS = 0 \end{aligned} \]$

其中\(j\)称为电流密度，$\(\varepsilon_0\dfrac{\partial E}{\partial t}\)$称为位移电流密度（好像和电流没啥关系）。由此，将磁场的环路定理改为

$\[\oint_L B\cdot dl = \iint \mu_0(j + \varepsilon_0\dfrac{\partial E}{\partial t})\cdot dS \]$

麦克斯韦方程组

$\[\left\{ \begin{aligned} &电场的高斯定理：\oiint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}\\ &电场的环路定理：\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\iint_S \dfrac{\partial B}{\partial t}\cdot d\vec{S}\\ &磁场的高斯定理：\oiint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0\\ &磁场的环路定理：\oint_L \vec{B}\cdot d\vec{l} = \iint_S \mu_0(\vec{j} + \varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t})\cdot d\vec{S}\\ \end{aligned} \right. \]$

下面考察场中某个点的矢量特征，

• 通量→散度

$\[\begin{aligned} 电场强度的通量：&\oiint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{E})dV\\ 闭合曲面内的电量：&q = \iiint_V \rho dV\\ 高斯定理变为：&\iiint_V(\nabla \cdot \vec{E})dV = \dfrac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho dV\\ 微分得到：&\nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ 同理得到：&\nabla \cdot \vec{B} = 0\\ \end{aligned} \]$

• 环量→旋度

$\[\begin{aligned} &\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = \iint_S(\nabla \times \vec{E})\cdot d{\vec{S}}= -\iint_S\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d \vec{S}\\ 微分得到：&\nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ 同理可得：&\nabla \times \vec{B} = \mu_0(\vec{j} + \varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t})\\ \end{aligned} \]$

于是我们得到麦克斯韦方程组的微分形式，

$\[\begin{aligned} 电场的散度：&\nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ 电场的旋度：&\nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ 磁场的散度：&\nabla \cdot \vec{B} = 0\\ 磁场的旋度：&\nabla \times \vec{B} = \mu_0(\vec{j} + \varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t})\\ \end{aligned} \]$