Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
一．恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
示例：
A =
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
>> b=[3 0 3 -6]';
>> x1=A\b
x1 =
1.0000
2.0000
1.0000
>> x2=pinv(A)*b
x2 =
1.0000
2.0000
1.0000
>> A*x1-b
ans =
1.0e-014 *
-0.0888
-0.0888
-0.1776
0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
示例：
A =
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
>> b=[1 -1 5]';
>> x1=A\b
Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 4.6151e-015.
x1 =
0
0
0
1
>> x2=pinv(A)*b
x2 =
-0.0000
0.0000
-0.0000
1.0000
