黄金分割法(一维搜索算法)

一维搜索算法之黄金分割法

• 1、概述
• 2、黄金分割法
• 3、修改后的黄金分割算法
• 4、编程实现修改后的黄金分割算法

1、概述

  黄金分割法是一种区间收缩方法。

$x_1、x_2$,通过比较函数f(x)在这两点的函数值或者导数值等，来决定去掉一部分区间[a,$x_1$]或者[$x_2$,b],从而使搜索区间长度变小，如此迭代，直至区间收缩为一点为止，或区间长度小于某给定的精度为止。

$x_1、x_2$，通过比较这两点的函数值，就可以将搜索区间缩小。比如说，如果f($x_1$)<f($x_2$)，则选取[$a_1,b_1$]=[a,$x_2$]，如果f($x_1$)> f($x_2$)，则选取[$a_1,b_1$]=[$x_1$,b]，如果f($x_1$)=f($x_2$ )，则选取[$a_1,b_1$]=[$x_1,x_2$]，这样就得到f(x)的更小的搜索区间[$a_1,b_1$]，然后根据这一方法再进行划分,得到一系列搜索区间满足

$\varepsilon$,当$b_k-a_k<\varepsilon$时，可以将f(x)的最小值点近似地取为$x^*=\frac{a_k+b_k}{2}$

  单峰函数与搜索区间的定义如下：

如何选取x1和x2才能使得算法的效率更高？

这里推导过程不在详细讨论，直接给出满足对称取点、等比收缩和单点计算三个原则的分点。

$\left\{\begin{matrix} x_1=a+0.382(b-a) \\ x_2=a+0.618(b-a) \end{matrix}\right.$

或者

$\left\{\begin{matrix} x_1=a+0.382(b-a) \\ x_2=a+b-x_1 \end{matrix}\right.$

2、黄金分割法

  算法描述如下：

这个算法非常理想，整个迭代过程中。除最初计算分点时使用过一次乘法外，后边的分点全部都由加减法完成，并且每次迭代只需计算一个分点的函数值。但是，在实际应用中，该方法存在一定的缺陷。这种缺陷主要来源于无理数$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$的取值。这里我们只取了小数点后三位数。因而有一定误差，所以在迭代过程中，经过多次累计，误差就会很大，从而导致最终选取的两点并不一定是我们所期望的那两点，事实上，常常发生x2小于x1的情形。
  为避免这种情况的出现，我们也可以通过将无理数$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$小数点后面的位数提高来避免算法的这一缺陷。不过这样做的效果未必很好。因为我们不知道在算法中到底要经过多少次迭代，当迭代次数很大时，这种做法依然是不能奏效的。因此，我们在程序中每次计算分点时不得不根据算法原理，使用一次乘法，即第二个分点不用加减法产生，而直接用乘法计算得出。由此即可避免累计误差所带来的缺陷。我们仍假设f(x)是区间[a，b]上的单峰函数。修改后的黄金分割法的计算框图如下图所示。

3、修改后的黄金分割算法

修改后的黄金分割算法如下：

4、编程实现修改后的黄金分割算法

用黄金分割法求函数$f(x)=x^3-12x-11$在区间$[0,10]$上的最小值点，取$\varepsilon=0.01$。

import java.math.BigDecimal;

/**
 * 黄金分割法测试
 */
public class GoldenCut {
    public static final BigDecimal C=new BigDecimal("0.01");

    public static  BigDecimal end=null;

    /**
     *x^3-12x-11
     * @param x 输入参数x
     * @return x^3-12x-11
     */
    public static BigDecimal ComputeFx(BigDecimal x){
        return x.pow(3).subtract(new BigDecimal("12").multiply(x)).subtract(new BigDecimal("11"))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }

    /**
     * a+0.382*(b-a)
     * @param a
     * @param b
     * @return a+0.382*(b-a)
     */
    public static BigDecimal Compute382(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return a.add(new BigDecimal("0.382").multiply(b.subtract(a)))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }

    /**
     * a+0.618(b-a)
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static BigDecimal Compute618(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return a.add(new BigDecimal("0.618").multiply(b.subtract(a)))
                    .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    /**
     * a+b-x1
     * @param a
     * @param b
     * @param x1
     * @return
     */
    public static BigDecimal Subtractabx1(BigDecimal a,BigDecimal b,BigDecimal x1){
        return a.add(b).subtract(x1)
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    //判断是否满足精度 b-a<C？
    public static boolean OK(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return b.subtract(a).compareTo(C) < 0;
    }
    //输出最优解
    public static BigDecimal Success(BigDecimal a, BigDecimal b){
        return (a.add(b)).divide(new BigDecimal("2"))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    //修改后的黄金分割法
    public static void goldenTest1(BigDecimal a,BigDecimal b){
        System.out.println("初始化");
        BigDecimal x1=Compute382(a,b);
        BigDecimal x2=Subtractabx1(a,b,x1);
        BigDecimal f1=ComputeFx(x1);
        BigDecimal f2=ComputeFx(x2);
        System.out.println("x1="+x1);
        System.out.println("x2="+x2);
        System.out.println("f1="+f1);
        System.out.println("f2="+f2);
        System.out.println("迭代区间如下:");
        int count=0;    //迭代次数
        while(!OK(a,b)){//只要不满足精度就一直迭代
            System.out.println("["+a+"\t,\t"+b+"]");
            count++;    //迭代次数+1
            if(f1.compareTo(f2)==1){//f1>f2
                a=x1;
                if(OK(a,b)){     //精度判断
                    end = Success(a, b);
                    break;
                }else{
                    f1=f2;
                    x1=x2;
                    x2=Compute618(a,b);
                    f2=ComputeFx(x2);
                }
            }else{
                b=x2;
                if(OK(a,b)){
                    end = Success(a, b);
                    break;
                }else{
                    f2=f1;
                    x2=x1;
                    x1=Compute382(a,b);
                    f1=ComputeFx(x1);
                }
            }
        }
        System.out.println("迭代结束,迭代次数"+count);
    }
    public static void main(String[] args) {
        BigDecimal a=new BigDecimal("0");
        BigDecimal b=new BigDecimal("10");

        goldenTest1(a,b);
        System.out.println("最优解为x*="+end);
        System.out.println("f(x*)="+ComputeFx(end));
    }
}

由运行结果可以看到，迭代次数15次，最优解为$x^*=2.0009942948,f(x^*)=-26.9999940673$。迭代区间如下：

可以证明，黄金分割法是线性收敛的。