数据结构与算法之堆排序
原创
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数据结构与算法之堆排序
前提条件
基本概念
堆排序 (Heap Sort) 是 一 种树形选择排序，在排序过程中，将待排序的记录
看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序的序列中选择关键字最大（或最小）的记录。
算法步骤
建立大根堆
由于单个节点的完全二叉树满足堆特性，所以叶子节点都是堆。对n个结点的完全二叉树建堆的过程是依次将以编号为
的结点为根的子树筛选为子堆。
例如，对初始序列(42,58,68,98,86,42)建堆的过程如视频所示。由于堆长度n为6，所以需要依次对编号为
建立大根堆
//筛选法调整堆
void HeapAdjust(SqList &L,int s,int m)
{
//假设r[s+1..m]已经是堆，将r[s..m]调整为以r[s]为根的大根堆
ElemType rc;
int j;
rc=L.r[s];
for(j=2*s;j<=m;j*=2)
{ //沿key较大的孩子结点向下筛选
if(j<m&&L.r[j].key<L.r[j+1].key) ++j; //j为key较大的记录的下标,比较左右节点大小
if(rc.key>=L.r[j].key) break; //rc应插入在位置s上
L.r[s]=L.r[j]; s=j;
}
L.r[s]=rc; //插入
}
//建初堆
void CreatHeap(SqList &L)
{
//把无序序列L.r[1..n]建成大根堆
int i,n;
n=L.length;
//printf("%d",n);
for(i=n/2;i>0;--i) //反复调用HeapAdjust
HeapAdjust(L,i,n);
} //CreatHeap
堆排序
堆排序利用了大根堆（或 小根堆） 堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得当前无序的序列中选择关键字最大（或最小） 的记录变得简单。下面讨论用大根堆进行排序，堆排序的步骤如下。
- ①按堆的定义将待排序序列r[1…n]调整为大根堆（这个过程称为建初堆)，交换r[1]和r[n],则r[n]为关键字最大的记录。
- ②将r[1…n-1]重新调整为堆,交换r[1]和r[n-1]，则r[n-1]为关键字次大的记录。
- ③循环n-1次，直到交换了r[1]和r[2]为止，得到了一个非递减的有序序列r[1 …n]。
堆排序
void HeapSort(SqList &L)
{
//对顺序表L进行堆排序
int i;
ElemType x;
CreatHeap(L); //把无序序列L.r[1..L.length]建成大根堆
for(i=L.length;i>1;--i)
{
x=L.r[1]; //将堆顶记录和当前未经排序子序列L.r[1..i]中最后一个记录互换
L.r[1]=L.r[i];
L.r[i]=x;
HeapAdjust(L,1,i-1); //将L.r[1..i-1]重新调整为大根堆
}//for
}//HeapSort
算法分析
时间复杂度
- 堆排序的运行时间主要耗费在建初堆和调整堆时进行的反复“筛选”上。
- 设有n个记录的初始序列所对应的完全二叉树的深度为h，建初堆时，每个非终端结点都要自上而下进行“筛选"。由于第i层上的结点数小于等于
,且第i层结点最大下移的深度为h-i,每下移一层要做两次比较，所以建初堆时关键字总的比较次数为
调整建新堆时要做 n-1次“筛选” ，每次“筛选”都要将根结点下移到合适的位置。 n个结点的完全二叉树的深度为
，则重建堆时关键字总的比较次数不超过
- 由此，堆排序在最坏的情况下，其时间复杂度也为
。 - 实验研究表明，平均性能接近于最坏性能。
空间复杂度
仅需一个记录大小供交换用的辅助存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
算法特点
- (1)是不稳定排序。
- (2)只能用于顺序结构,不能用于链式结构。
- (3)初始建堆所需的比较次数较多，因此记录数较少时不宜采用。堆排序在最坏情况下时间复杂度为，相对于快速排序最坏情况下的
而言是一个优点，当记录较多时较为高效。
完整代码
//堆排序
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#define MAXSIZE 20 //顺序表的最大长度
typedef struct
{
int key;
char *otherinfo;
}ElemType;
//顺序表的存储结构
typedef struct
{
ElemType *r; //存储空间的基地址
int length; //顺序表长度
}SqList; //顺序表类型
//筛选法调整堆
void HeapAdjust(SqList &L,int s,int m)
{
//假设r[s+1..m]已经是堆，将r[s..m]调整为以r[s]为根的大根堆
ElemType rc;
int j;
rc=L.r[s];
for(j=2*s;j<=m;j*=2)
{ //沿key较大的孩子结点向下筛选
if(j<m&&L.r[j].key<L.r[j+1].key) ++j; //j为key较大的记录的下标,比较左右节点大小
if(rc.key>=L.r[j].key) break; //rc应插入在位置s上
L.r[s]=L.r[j]; s=j;
}
L.r[s]=rc; //插入
}
//HeapAdjust
void Create_Sq(SqList &L)
{
int i,n;
printf("请输入数据个数，不超过%d个\n",MAXSIZE);
scanf("%d",&n); //输入个数
while(n>MAXSIZE)
{
printf("个数超过上限，不能超过%d，请重新输入",MAXSIZE);
scanf("%d",&n);
}
printf("请输入待排序的数据:\n");
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&L.r[i].key);
L.length++;
}
}
//建初堆
void CreatHeap(SqList &L)
{
//把无序序列L.r[1..n]建成大根堆
int i,n;
n=L.length;
//printf("%d",n);
for(i=n/2;i>0;--i) //反复调用HeapAdjust
HeapAdjust(L,i,n);
} //CreatHeap
void HeapSort(SqList &L)
{
//对顺序表L进行堆排序
int i;
ElemType x;
CreatHeap(L); //把无序序列L.r[1..L.length]建成大根堆
for(i=L.length;i>1;--i)
{
x=L.r[1]; //将堆顶记录和当前未经排序子序列L.r[1..i]中最后一个记录互换
L.r[1]=L.r[i];
L.r[i]=x;
HeapAdjust(L,1,i-1); //将L.r[1..i-1]重新调整为大根堆
}//for
}//HeapSort
void show(SqList L)
{
int i;
for(i=1;i<=L.length;i++)
printf("%d ",L.r[i].key);
}
int main()
{
SqList L;
L.r=(ElemType*)malloc((MAXSIZE+1)*sizeof(ElemType));
L.length=0;
Create_Sq(L);//创建一个顺序表，里面存储着要排序的初始序列
HeapSort(L);//对初始序列进行堆排序
printf("排序后的结果为:\n");
show(L);//输出排序后的结果为
return 0;
}
输出结果
参考文献
[1] 严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）. 北京： 清华大学出版社，2020
[2] 严蔚敏，李冬梅，吴伟民. 数据结构（C语言版）（第二版）. 北京： 人民邮电出版社，2021
[3] 吴伟民，李小妹，刘添添，黄剑锋，苏庆，林志毅，李杨.数据结构. 北京：高等教育出版社，2017
[4] 王道论坛. 2022数据结构考研复习指导. 北京：电子工业出版社，2021
