威尔逊定理

定义：

$\quad$ $\quad$ $\quad$$\quad$ $p$为质数$\Longleftrightarrow$$(p−1)!≡−1(modp)$

或者可以写成：

$\quad$ $\quad$ $\quad$$\quad$ $p$为质数$\Longleftrightarrow$$(p−1)!≡p−1(modp)$
或者说：

若$p$为质数，则$p$能被$(p-1)!+1$整除

证明：

必要性：
利用反证法证明：
$(p−1)!≡−1(modp)$ $\Longleftrightarrow$$p∣(p−1)!+1$
假设 $p$ 不是质数，且 $a$ 是 $p$。
易知$a∣(p−1)!$，则$a∤(p−1)!+1$
而$p∣(p−1)!+1\Longrightarrow a|(p-1)!+1$，前后矛盾！
故 $p$

充分性
$\quad$ 关于充分性的证明，如果直接看证明的话，容易一脸懵逼。如果带着证明思路看，可能会好得多。证明思路如下：
$\quad$证明集合$\{2,3,⋯,p−2\}$中存在两两配对的元素$a,b$。

有$ab≡1(modp)$$\quad$即$(p−2)!≡1(modp)$

又 $p−1≡−1(modp)$ 所以：$(p−1)!≡−1(modp)$

当$p=2$时:$(p−1)!≡−1(modp)$显然成立

当$p=3$时:$(p−1)!≡−1(modp)$显然成立

当$p=4$时:$(p−1)!≡−1(modp)$显然成立

当$p≥5$时：令

$\quad$ $\quad$ $\quad$ $M=\{2,3,⋯,p−2\},N=\{1,2,⋯,p−1\}$

$∀a∈M$，令

$\quad$ $\quad$ $\quad$ $S=a⋅N=\{a,2a,⋯,(p−1)a\}$

注意：$∀t∈S,p∤t$
$∴∀t _{1} ,t_{2} ∈S,t _{1}<t_{2} \Longrightarrow t _{2} −t _{1} ∈S\Longrightarrow p∤(t _{2}−t _{1})$

根据同余的定义可知，$S$中所有元素模$p$都不同余。

$∴Smodp=N$

也就是说 $∀a∈M,∃x∈N$,一定有 $ax≡1(modp)$

若$x=1$,则 $\quad$ $ax\%p=a\%p=a$ ∴$x=/1$

若 $x=p−1$

$ax\%p=(ap−a)\%p=[(a−1)p+p−a]\%p=p−a,∴x=/ p−1$

若 $x=a$

$a^{2} ≡1(modp)⟹(a+1)(a−1)≡0(modp)⟹a=1$

或者：$a=p−1∴x= /a$

综上所述，$∀a∈M,∃x∈M$ ,且：$a=/x$ 有 $ax≡1(modp)$

所以： $(p−1)!≡1⋅(p−1)≡−1(modp)$

得证

注：$x=/1$的意思就是$x$的逆元等于$1$