1.平衡二叉树

1.1 简介

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡，左右子树树高不超过1，和红黑树相比，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1）。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。

1.2 特点

1.本身首先是一棵二叉搜索树。
2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

1.插入

这是一棵普通二叉树做插入9的操作 高度为4
AVL树（平衡二叉树）_AVL
平衡二叉树插入9 高度为3 下文讲旋转
AVL树（平衡二叉树）_平衡二叉树_02
这里通过一次左旋操作就将插入后的树重新变为平衡的了。但是有的情况下可能需要多次旋转：
AVL树（平衡二叉树）_AVL_03

2.删除

从AVL树中删除可以通过把要删除的节点向下旋转成一个叶子节点，接着直接剪除这个叶子节点来完成。因为在旋转成叶子节点期间最多有 log n个节点被旋转，而每次 AVL 旋转耗费恒定的时间，删除处理在整体上耗费 O(log n) 时间。

3.查找

在AVL树中查找同在一般BST完全一样的进行，所以耗费 O(log n) 时间，因为AVL树总是保持平衡的。不需要特殊的准备，树的结构不会由于查询而改变。（这是与伸展树查找相对立的，它会因为查找而变更树结构。）

4.旋转

  • AVL树的基本操作一般涉及运做同在不平衡的二叉查找树所运做的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的"AVL 旋转"。

  • 假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树根结点的指针为a（即a是离插入点最近，且平衡因子绝对值超过1的祖先结点），则失去平衡后进行进行的规律可归纳为下列四种情况：

  • 单向右旋平衡处理LL：由于在*a的左子树根结点的左子树上插入结点，a的平衡因子由1增至2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行一次右旋转操作；

  • 单向左旋平衡处理RR：由于在*a的右子树根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由-1变为-2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行一次左旋转操作；

  • 双向旋转（先左后右）平衡处理LR：由于在*a的左子树根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由1增至2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先左旋后右旋）操作。

  • 双向旋转（先右后左）平衡处理RL：由于在*a的右子树根结点的左子树上插入结点，a的平衡因子由-1变为-2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先右旋后左旋）操作。
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    AVL树（平衡二叉树）_子树_04