数据结构与算法学习二二：图的学习、图的概念、图的深度和广度优先遍历

文章目录

• ​​前言​​
• ​​一、为什么要有图​​
• ​​二、图的举例说明​​
• ​​三、图的常用概念​​
• ​​四、图的表示方式​​

• ​​4.1 邻接矩阵​​
• ​​4.2 邻接表​​

• ​​五、图的快速入门案例​​
• ​​六、图的深度优先遍历介绍​​

• ​​6.1 图遍历介绍​​
• ​​6.2 深度优先遍历基本思想​​
• ​​6.3 深度优先遍历算法步骤​​
• ​​6.4 核心代码​​

• ​​七、图的广度优先遍历​​

• ​​7.1 广度优先遍历基本思想​​
• ​​7.2广度优先遍历算法步骤​​
• ​​7.3 核心代码​​

• ​​八、图的代码汇总​​

• ​​8.1 Graph图类​​
• ​​8.2 GraphMain测试类​​
• ​​8.3 测试结果​​

前言

一、为什么要有图

1. 前面我们学了线性表和树
2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4. 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

二、图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

三、图的常用概念

1. 顶点(vertex)
2. 边(edge)
3. 路径
5. 无向图(右图)



7. 有向图



9. 带权图

四、图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

4.1 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。

4.2 邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

五、图的快速入门案例

1. 要求: 代码实现如下图结构.
2. 思路分析 (1) 存储顶点String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges
3. 代码实现
   核心代码，汇总在后面

// 插入 结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    // 添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示关联 ， 0或者1
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
        numOfEdges++;
    }

六、图的深度优先遍历介绍

6.1 图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

6.2 深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

6.3 深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析:

6.4 核心代码

// 深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0
    public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
        // 首先我们访问该结点，输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        // 将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        // 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标)  （i, w） 就是直接关系，前提 w 不为 -1
        int w = getFirstNeighbor(i);

        while (w != -1) { // 说明 有邻接结点
            if (!isVisited[w]) { // 为 true时，说明未被访问。
                dfs(isVisited, w); // 递归
            }
            // 如果 w 结点被访问， 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
            w = getNextNeighbor(i, w);


        }
    }

    // 对 dfs 进行一个重载，遍历所有结点，并进行 dfs
    public void depthFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        // 遍历所有结点，进行dfs（回溯）
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { // getNumOfVertex() 结点个数
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

七、图的广度优先遍历

7.1 广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

7.2广度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2. 结点v入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点u。
5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
   6.2 结点w入队列
   6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

广度优先举例说明

7.3 核心代码

/*
     * 广度 优先遍历的方法， 没用递归
     * */

    // 对一个节点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点 w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点(起始点)，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先  // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void broadFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

八、图的代码汇总

8.1 Graph图类

package com.feng.ch17_graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList; // 储存定点集合
    private int[][] edges; // 存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;// 表示边的数目

    //定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    // 构造器
    public Graph(int n) {
        // 初始化矩阵和 vertexList
        this.vertexList = new ArrayList<String>(n);
        this.edges = new int[n][n];
        this.numOfEdges = 0;

    }

    /*
     * 深度 优先遍历的方法
     * */

    // 得到 第一个邻接结点 的下标 w

    /**
     * @param index 传入的下标的行
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回 -1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0
    public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
        // 首先我们访问该结点，输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        // 将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        // 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标)  （i, w） 就是直接关系，前提 w 不为 -1
        int w = getFirstNeighbor(i);

        while (w != -1) { // 说明 有邻接结点
            if (!isVisited[w]) { // 为 true时，说明未被访问。
                dfs(isVisited, w); // 递归
            }
            // 如果 w 结点被访问， 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
            w = getNextNeighbor(i, w);


        }
    }

    // 对 dfs 进行一个重载，遍历所有结点，并进行 dfs
    public void depthFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        // 遍历所有结点，进行dfs（回溯）
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { // getNumOfVertex() 结点个数
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /*
     * 广度 优先遍历的方法， 没用递归
     * */

    // 对一个节点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点 w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点(起始点)，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先  // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void broadFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }


    /*
     * 图中常用方法
     * */
    // 返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }
    // 得到的边数目
    // getNumOfEdges() 方法

    // 返回结点 i （下标） 对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    // 返回v1 和 v2 的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    // 显示图对应的矩阵
    public void show() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    // 插入 结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    // 添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示关联 ， 0或者1
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
        numOfEdges++;
    }


    public ArrayList<String> getVertexList() {
        return vertexList;
    }

    public void setVertexList(ArrayList<String> vertexList) {
        this.vertexList = vertexList;
    }

    public int[][] getEdges() {
        return edges;
    }

    public void setEdges(int[][] edges) {
        this.edges = edges;
    }

    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    public void setNumOfEdges(int numOfEdges) {
        this.numOfEdges = numOfEdges;
    }
}

8.2 GraphMain测试类

package com.feng.ch17_graph;

public class GraphMain {

    public static void main(String[] args) {
        // 测试 图是否创建
        int n = 8; // 结点个数
//        String vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
        String vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        Graph graph = new Graph(n);

        // 循环添加节点
        for (String vertex : vertexs){
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        // 添加边
        // ab ac bc bd be
//        graph.insertEdge(0, 1, 1); // ab
//        graph.insertEdge(0, 2, 1);
//        graph.insertEdge(1, 2, 1);
//        graph.insertEdge(1, 3, 1);
//        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);

        // 显示邻接矩阵
        graph.show();
        System.out.println();

        // 深度遍历
        System.out.println("深度优先遍历");
        graph.depthFirstSearch(); // A->B->C->D->E->    1->2->4->8->5->3->6->7->
        System.out.println();
        System.out.println();

        // 广度遍历
        System.out.println("广度优先遍历");
        graph.broadFirstSearch(); // A=>B=>C=>D=>E=>    1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
    }
}

8.3 测试结果