【杂题】[CodeForces 1076G] Array Game【数据结构】【博弈】

原题链接：​​http://codeforces.com/problemset/problem/1076/G​​

Description

考虑这样一个博弈
你有一个序列B，一开始有一个棋子在B的第一个位置。
双方轮流操作，第一次操作前将B[1]-1
游戏有一个参数m，操作以下面的形式进行

• 假设当前棋子在位置x，当前操作的一方需要选择一个位置$y\in[x,x+m]$，且B[y]>0，将棋子移到位置y，并将B[y]-1，之后将操作权给另一个人。
• 不能操作的一方输掉游戏。

这道题目是这样的
给出一个长度为n的序列A，游戏参数m，以及询问数q
询问有两种，一种是将A的一段区间加上d，另一种是询问A序列的一个子区间，以这段区间作为序列B进行上面的博弈，问最优策略下先手还是后手会赢。

$n,q\leq 200000,m\leq 5,1\leq A[i],d\leq 10^{12}$

Solution

思考这个博弈的性质。

因为是两个人轮流操作，每次-1，那么可以往奇偶性的方向来思考。

考虑一个B[i]为偶数，玩家b从前面将棋子移到了这里，现在B[i]为奇数，玩家a操作。

对于每个位置i，我们可以给它定一个0/1状态，表示棋子从前面第一次移到i这里，减1以后开始操作的玩家必败还是必胜，记为F[i]。

考虑$F[i+1]$以后都求出来了，我们想要知道$F[i]$

如果$B[i]$为偶数，即棋子第一次移过来时B[i]变成奇数，考虑此时先手（令他为玩家a）的选择。

• 如果$F[i+1]...F[i+m]$中至少有一个为0（即先手必败态），此时玩家a肯定走过去将操作权交给玩家b，玩家b必败，玩家a必胜。
• 否则[i+1,i+m]全是先手必胜态，玩家a会原地不动，将B[i]-1，由于第一次-1后$B[i]$是奇数，最后必须向后走的玩家一定是玩家b，将先手必胜态留给玩家a，此时玩家a必胜。

如果$B[i]$为奇数，即棋子第一次移过来时B[i]变成偶数。此时玩家a操作

• 如果$F[i+1]...F[i+m]$中至少有一个为0（即先手必败态），此时玩家a肯定走过去将操作权交给玩家b，玩家b必败，玩家a必胜。
• 否则[i+1,i+m]全是先手必胜态，最后必须向后走的玩家一定是玩家a，将先手必胜态留给玩家b，此时玩家a必败。

综上，若B[i]为偶数，则$F[i]=1$
若B[i]为奇数，则如果$[i+1,i+m]$中存在$F[j]=0$，那么$F[i]=1$，否则$F[i]=0$

因此$F[i]$只与$B[i]$的奇偶性和$F[i+1]...F[i+m]$有关。

回到原问题，如何处理区间询问呢？
我们可以用二进制状态将$F[i+1]...F[i+m]$压起来，有奇偶两种转移。

用线段树维护每个区间的总转移，合并两个区间就直接合并转移即可。
这样查询就解决了。

考虑如何区间加法
区间加偶数显然没用，区间加奇数相当于奇偶调换，我们不好维护调换后的转移怎么办。
可以直接将调换后的转移存起来，因为调换两遍相当于没调换，对于每个线段树区间维护$G[0/1][S]$表示区间加上0/1后的转移，区间加奇数直接将这两个swap一下就好了。

总的复杂度$O(n\log n*2^m)$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 400005
#define LL long long
using namespace std;
int lz[N],f[N][2][32],n1,t[N][2],a[N],n,m,q,d[N];
void up(int k)
{
  int l=1<<m;
  fo(p,0,1) fo(j,0,l-1) f[k][p][j]=f[t[k][0]][p][f[t[k][1]][p][j]]; 
}
void upd(int k)
{
  lz[k]^=1,swap(f[k][0],f[k][1]);
}
void down(int k)
{
  if(lz[k]) upd(t[k][0]),upd(t[k][1]),lz[k]=0;
}
void add(int k,int l,int r,int x,int y)
{
  if(x>y||x>r||y<l) return;
  if(x<=l&&r<=y) upd(k);
  else
  {
    int mid=(l+r)>>1;
    down(k);
    add(t[k][0],l,mid,x,y),add(t[k][1],mid+1,r,x,y);
    up(k);
  }
}
void query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
  if(x>y||x>r||y<l) return;
  if(x<=l&&r<=y) d[++d[0]]=k;
  else
  {
    int mid=(l+r)>>1;
    down(k);
    query(t[k][0],l,mid,x,y),query(t[k][1],mid+1,r,x,y);
  }
}
void build(int k,int l,int r)
{
  if(l==r)
  {
    int le=(1<<m);
    fo(j,0,le-1) 
    {
      f[k][a[l]][j]=(j<<1)%le+1;
      f[k][a[l]^1][j]=(j<le-1)?((j<<1)%le+1):(j<<1)%le;
    }
    return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  build(t[k][0]=++n1,l,mid);
  build(t[k][1]=++n1,mid+1,r);
  up(k);
}
int main()
{
  cin>>n>>m>>q;
  fo(i,1,n) 
  {
    LL x;
    scanf("%lld",&x);
    a[i]=x%2;
  }
  n1=1;
  build(1,1,n);
  fo(i,1,q)
  {
    int p,x,y;
    LL z;
    scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);
    if(p==1) 
    {
      scanf("%lld",&z); 
      if(z%2) add(1,1,n,x,y);
    }
    else
    {
      d[0]=0;
      query(1,1,n,x,y);
      int s=(1<<m)-1;
      fod(i,d[0],1) s=f[d[i]][0][s];
      if(s%2==0) printf("2\n");
      else printf("1\n");
    }
  }
}