解决自然数幂和的方法

题意

$∑i=1nimmodp$

暴力

呵呵,快速幂

高斯消元

从k次，推到k+1次，求系数

矩阵乘法

有点复杂，向下面的算法一样，可以从k次，推到k+1次

倍增

像快速幂一样，打一个f[i][j]

拉格朗日插值法

就是设一个函数再把式子推出来。道理很简单，不细讲。
如需了解差分表，​​拉格朗日插值法​​

牛顿插值法

还不会

差分表

我们知道式子a

$(n+1)k+1−nk+1=C1k+1∗nk+……+Ckk+1∗n+1$

(二项式定理)

那么我们转换到

$(n+1)k+1−1=∑i=0n(i+1)k+1−ik+1$

根据式子a

我们可以得到

$(n+1)k+1−1=C1k+1∑i=0nik+……+Ckk+1∑i=0ni+n+1$

进一步得到

式子b

$∑i=0nik=1k+1[(n+1)k+1−C2k+1∑i=0nik−1−……−Ckk+1∑i=0ni−n−1]$

很明显这些式子与所有的1到n的1到k-1次幂有关，所以是一个递推式

设

$S(n,k)=∑i=nnik$

用s代替式子b中的部分

$S(n,k)=1k+1[(n+1)k+1−C2k+1S(n,k−1)−……−Ckk+1S(n,1)−n−1]$

我们初始化s(n,0)=n+1(因为题目要求0^0=1)，s(n,1)=n(n+1)/2

那么就可以递推着做自然数幂和了。

伯努利数

伯努利数原本就是处理等幂和的问题。
可以推得

$∑i=1nik=1k+1∑i=1k+1Cik+1∗Bk+1−i∗(n+1)i$

因为

$∑k=0nCkn+1Bk=0(B0=1)$

所以

$Bn=−1n+1(C0n+1B0+C1n+1B1+……Cn−1n+1Bn−1)$

伯努利数的证明十分复杂，有些东西其实可以不用弄懂，当做一个黑盒算法。

公式简单易记。

第一类斯特林数（Stirling）

其实第一类斯特林数的概念十分好懂。
如需了解第一类斯特林数，请转​​第一类斯特林数​​
首先我们设

$Sk(n)=∑i=0nik$

根据第一类斯特林数的定义（P是排列数，C是组合数,s是Stirling）

$Ckn=Pknk!=∑ki=0(−1)i+ks(k,i)nik!$

那么我们用P每次减去一个少一位的对应斯特林式子就得到了

jk，在求和就是 Sk(n)。

所以

$Sk(n)= ∑j=0n(k!Ckj−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)ji)$

拆括号

$=k!∑j=0nCkj−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)∑j=0nji$

因为

$∑mi=0Cni=Cn+1m+1$（证明：$Cn+1m+1=Cnm+Cn+1m$,那么等式两边就把Cnm消掉了

，然后$Cn+1m=Cm−1n+Cn−1m−1$,然后又把Cnm−1消掉了，依此类推，最后全部都消掉了）

$=k!Cn+1k+1−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)Si(n)$

在转换为用排列数的

$=Pk+1n+1k+1−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)Si(n)$

那么我们只需要用

O(k2)地预处理出第一类斯特林数，然后按k来递推了，边界是 $S1(n)=n(n+1)/2$

主要运用了第一类斯特林数与排列式P的关系。

第一类斯特林数处理自然数幂和的问题比伯努利数和差分表更好。虽然时间复杂度都是一样的，但是第一类斯特林数没有除号（用组合数的形式没有，但是排列数的形式也可以整除），不用考虑模数有没有逆元，但是差分表和伯努利数都是带除号的，模数没有逆元很容易GG，比如说有一道题叫做

​​小学生数学题​

关系

转载并详细解说自​​GEOTCBRL​​%%%
打blog的灵感来自看了​​WerKeyTom_FTD​​
不过自我感觉十分详细。