Description

小胡同学是个热爱运动的好孩子。
  每天晚上，小胡都会去操场上跑步，学校的操场可以看成一个由n 个格子排成的一个环形，格子按照顺时针顺序从0 到n-1 标号。
  小胡观察到有m 个同学在跑步，最开始每个同学都在起点（即0 号格子），每个同学都有个步长ai，每跑一步，每个同学都会往顺时针方向前进ai 个格子。由于跑道是环形的，如果

一个同学站在n -1 这个格子上，如果他前进一个格子，他就会来到0。
他们就这样在跑道上上不知疲倦地跑呀跑呀。小胡同学惊奇地发现，似乎有些格子永远不会被同学跑到，他想知道这些永远不会被任何一个同学跑到的格子的数目，你能帮帮他
吗？（我们假定所有同学都跑到过0 号格子）。

Solution

比赛的时候只想出了一个结论：如果一个格子是gcd(ai,n)的倍数，那么这个格子能被走到。
证明：设x是格子，那么ax+b≡0(modn)，那么就相当于就一个方程ax+b=ny。
所以ax−ny=−b，用扩展gcd求出ax−ny=gcd(a,n)的解，那么b一定要是gcd(a,n)是d的倍数才有解。
得证。
那么现在要不重不漏的去计算所有的格子。那么就是求满足gcd(p[i],n)|d
枚举每一个n的约数p[i]，然后求l=gcd(p[i],n)，我们不需要求有多少个数是l的倍数，我们只需要知道有多少个数等于l就好了（因为分解出的约数会概括l的所有倍数，所以只用单层的管这个l）。
那么现在就要求有多少个数满足gcd(i,n)=l
那么就相当于求有多少个数满足gcd(il,nl)=1，那么就是有多少个数与nl互质，就有φ(nl)个。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=1000007;
int i,j,k,l,t,n,m,ans,d;
int a[57],p[maxn];
bool bz;
int gcd(int x,int y){return(!y)?x:gcd(y,x%y);}
int phi(int x){
    int i,y=x,z=x;
    fo(i,1,p[0]){
        if(p[i]==1)continue;
        if(x%p[i]==0)y=y/p[i]*(p[i]-1);
        while(x%p[i]==0)x/=p[i];
        if(x==1)break;
    }
    return y;
}
int main(){
//  freopen("","r",stdin);
//  freopen("running.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,m)scanf("%d",&a[i]);
    p[0]=0;
    fo(i,1,sqrt(n)){
        if(n%i==0){
            p[++p[0]]=i;
            if(n/i==i)continue;
            p[++p[0]]=n/i;
        }
    }
    sort(p+1,p+1+p[0]);
    fo(k,1,p[0]){
        i=p[k];
        bz=0;
        fo(j,1,m){
            d=i;
            l=gcd(a[j],n);
            if(d%l==0){
                bz=1;
                break;  
            }
        } 
        if(bz)ans+=phi(n/i);  
    }
    printf("%d\n",n-ans);
}