【算法编程】Trie树（字典树）

【算法编程】Trie树（字典树）

  Trie树是一种非常简单且有效的数据结构，其主要用于针对包含大量的字符串，但所有字符串包含字符类型数量较少的情况下，对字符串的存储。最典型的应用就是存储单词，因此也称作字典树。

  例如，给定几个单词，则可以用Trie树进行保存：

给定单词 apple, able, app, aboard, far, are，可知这些单词有许多相同的前缀，因此可以通过多叉树的形式将公共的前缀进行合并，如下图所示，红色则为一个标记，用于标记从根结点到该结点是一个单词。

由上图可知，Trie树具有几个性质：

• Trie树是多叉树；
• Trie始终有一个根结点root。当没有一个单词（字符串）时，Trie树只包含根结点root；
• Trie的深度（高度）一定是所有单词（字符串）中最长的长度；
• 可以用二维数组存储trie树。假设已知只有26个字母，则数组可以定义为 $trie[N][26]$ ，每一个结点都最多有26个孩子结点，分别表示字母a-z，其中 $trie[idx][j]$ 表示第 $idx$ 个字母的下一个字母的编号是 $j$

注，树中每一个结点都是有唯一的编号 $idx$，每个结点 $idx$ 都对应某一个字符串中的某个字母，因此这个字母的下一个字母如果是 $j\in[0,25]$ （字母’a-z’ 分别对应 ‘0-25’） 则可以保存在 $trie[idx][j]$ 上此时 $trie[idx][j]$

• 需要维护一个特殊的数组 $cnt[N]4 用于记录每个结点是否作为某个单词（字符串）的终点，$cnt[idx]$ 可以记为以root为起点，结点idx为终点对应的路径上的字符串出现的数量。

  Trie树有一些典型的应用，比如字符串高效存储和查询、求所有字符串的最大公共前缀等。下面给出几个应用样例

Trie树的最基本的应用就是存储和查询单词：

维护一个字符串集合，支持两种操作：

“I x”向集合中插入一个字符串x； “Q x”询问一个字符串在集合中出现了多少次。 共有N个操作，输入的字符串总长度不超过 $10^5$，字符串仅包含小写英文字母。
输入输出要求：第一行包含整数N，表示操作数。接下来N行，每行包含一个操作指令，指令为”I x”或”Q x”中的一种。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int trie[N][26]; // trie树，只有26个小写字母。trie[idx][j]表示第idx个结点的第j个孩子
int cnt[N]; // 每个结点作为一个单词的标记，用于记录每个结点作为单词结尾的次数
int idx = 1; // 新插入的字符的编号，初始化从1开始编号
char str[N]; // 用于终端输入一个单词
// 插入字符
void insert(char* s) {
    int p = 0; // 定义一个指针从根结点开始
    // 遍历字符串中的每一个字符
    for(int i = 0; s[i]; i ++) {
        int w = s[i] - 'a';
        // 如果当前的字符s[i]并不在结点p的第w个孩子上，则新增一个节点
        if(!trie[p][w]) trie[p][w] = idx ++;
        p = trie[p][w]; // 将指针转移到下一个结点        
    }
    cnt[p] ++;
}
// 查询是否存在一个单词
int query(char* s) {
    int p = 0;
    for(int i = 0; s[i]; i ++) {
        int w = s[i] - 'a';
        if(!trie[p][w]) return 0; // 不存在
        p = trie[p][w];
    }
    return cnt[p];
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- ) {
        char op[2];
        scanf("%s%s", op, str);
        if (*op == 'I') insert(str);
        else printf("%d\n", query(str));
    }
    return 0;
}

Trie拓展应用——最大异或对：

给定 $n$ 个整型数 $A_1, ..., A_n$（$A_i \in [0, 2^{31}]$）， 随机挑选两个值（可以是同一个）计算异或，求所有异或结果的最大值。
输入输出要求：输入两行，第一行为一个整数n表示整数个数，第二行输入n个整数。

思路： 先从暴力出发，肯定是要两层for循环，铁定会超时，但是我们发现，对于一个数a[i]的二进制位，则如果要寻找一个最大的数与之异或值最大，则贪心地从最高位开始，寻找与其恰巧位相反的。

假设给定一个整型数的二进制位1001011，则期望与之异或最大的肯定是0110100

$a[i]$，从高位遍历其二进制位( $j,j\in\{0,1\}$ )，每次寻找一个与 $j$

  如何搜索呢？可以借助trie树，因为trie树能够将每个含有相同前缀的字符串挂载到一起，因此，当遍历到第j位二进制位时，只需要从其中寻找与之相反的位即可，若不存在则按照原始位查询。

例子：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
const int M = 32 * N;  // 假设最多有N个整数，则最多有32*N个二进制位
int a[N];

int trie[M][2], cnt[M]; // 分别表示trie树，以及每个结点作为一个数字的末尾的次数
int idx = 1;

// 向trie树插入一个结点
void insert(int x) {
    int p = 0; // 从根结点开始
    for(int i = 31; i >= 0; i --) {
        int k = x >> i & 1; // 获得整型数的二进制的第i位
        if(!trie[p][k]) trie[p][k] = idx ++;
        p = trie[p][k];
    }
    cnt[p] ++;
}

int main() {
    int n, res = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    // 建立trie树
    for(int i = 0; i < n; i ++) insert(a[i]);
    
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        // 遍历当前的数a[i]的二进制：
        int p = 0, r = 0;
        for(int j = 31; j >= 0; j --) {
            int k = a[i] >> j & 1;
            // 每次试图从trie树中查找与当前位相反的数，假设当前数为10010，则当遍历第一个高位1时，
            // 希望搜索是否存在0，如果存在，则与之异或的最大值一定在0对应的子树后面。如果没找到，则按照当前位向下搜索；
            // 每次寻找到一个不相同位时，则累计异或结果
            int t = (k + 1) % 2;
            if(!trie[p][t]) p = trie[p][k]; // 如果没有找到与当前位不同的，则只能按照原始的位向下查找
            else r += pow(2, j), p = trie[p][t];
        }
        res = max(res, r);
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}