柯西-黎曼方程(简称C-R方程）是在复分析中用来判定一个复变函数是否可微的充要条件，本文试图用代数和几何两种方法来理解它到底说了什么。
代数证明：
在复变函数领域，f(z)在
处解析=>f(z)在
处可导<=>f(z)在
处可微
证明1：
,则在
处:
令
代入上式:
根据复数相等的条件：
我们希望留下上面的a,b主项，去掉
项目，现在来证明:
以及
均为无穷小.
由于:
当
时，
,等价于，当
时，
所以，
是比
更高阶的无穷小，同理，
也可以得到这个结论。
所以:
根据二元函数偏导数的性质，可以得到：
所以，可以推出:
证明2：
,再 区域D内一点
可导，可以得到:
,
所以：
所以：
因为
无论按照什么方式趋近于0，上面的式子总是成立，所以这里取两条特殊路径: 第一条：
第二条：
路径如下图所示：
按照路径1：
所以，
按照路径2：
如果函数解析，则两条路径计算得到导数应该是一样的，也就是
根据复数相等的条件：
也就是：
几何证明：
上面的代数证明已经说过了，复变函数的导数如果存在，要求
的方式是任意的，这一点要比实变量的情况复杂的多，对于实变函数来说，导数存在意味着，当点
由左(
)以及右（
)两个方向趋近x0时，比值
的极限都存在且相等。而复变函数的导数存在性意味着，当点
,沿着连接点
的任意路径趋近于
时，比值
的极限都存在，并且这些极限都相等，可见复变函数的可微条件要比实变函数可微条件要更苛刻一些。
如下图：
在
可导，意味着：
存在，根据复数的运算法则，
这也意味着沿着任何轨迹接近
.
和
都为固定值，其中
称为伸缩率，
为转动角。
如下图所示：
以复变函数
为例，先根据C-R方程判断它的可导性:
令:
成立。
所以
,
或者:
所以
是处处可导的,导数为
。复变函数
再
处的导数为
,则沿着不同的路径得到的导数应该均为
，从多条接近路径中任意选取两条h,g，并且路径h,g之间的夹角为
.
可以得到
令：
并且
所以
所以，当再h，g线上经过微小的摄动后：w=f(z)在h,g方向上的变化矢量方向为
注意到
所以微小的摄动经过复函数变换后，得到的方向矢量仍然相差
角度，这就是复变解析函数的“保角特性”，这就直观地解释了复变函数解析性能推出保角性，并说明了导数的几何意义。
如下图所示，左边h,g两条路径的夹角和右图两条曲线的夹角必定是相同的。根据这个性质也可以推出C-R方程。
复变函数记
,其中
,所以可以得到
,其中x, y是实数，u,v是他们的实函数，如果
解析，那么
有什么关系呢？取
为两个特殊的方向，分别平行于实轴和虚轴接近
点。
对于AB方向，趋近方式为
为开口向右的抛物线
为一副开口向左的抛物线.
由于只含有固定值的平方项，所以关于非固定的对称轴对称的两条直线映射到同一条抛物线．
关于保持直角的映射，可以通过下面的代数证明看出来
斜率正交，保持直角的性质得到证明．
如下图所示：
分析交点时刻的情况，根据可微的条件，下图的两个三角形应该全等，所以，同样可以得到C-R方程：
与线性空间变换的关系：
上面通过几何和代数证明，柯西－黎曼方程的几何意义，就是在变换（这里是复变函数求导)前后，保证一个稳定的伸缩率和转动角的变换．
满足柯西－黎曼方程的可微复变函数，局部的变换效果就是那些可以转换为伸（拉伸）扭(旋转固定的角度
）的映射，即再点的某个区域内，从这一点出发的无穷小复数摄动下，变换后满足同样的俯角变换和幅值变换，微观上，就是可以将一个微小的圆变换为微小的圆，如上图，局部的微小圆变换左边的
经过变换后，
仍然是一个圆，这样
才能保持不变．
关于线性空间变换的种类，线性代数和线性空间理论中介绍是最多的，所以，复变函数可微的两个条件，
1.相同的伸缩因子
2.相同的转动角
可以对应到线性空间理论中的变换矩阵，首先是伸缩因子
1.伸缩变换用
表示2.转动变换最好理解了，对于逆时针方向旋转
的变换，可以用矩阵
表示
两个变换的复合，就是
而可以看到，用
乘以
也将会得到一个变换:
可以看到，这两变换何其相似，也就是说，复变函数可微性，对应了线性空间中的一类变换．
