先上辗转相除法的三个代码实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int gcd1(int a, int b)
{
int ret;
while(1)
{
if(a >= b)
{
a = a%b;
if(a == 0)
{
ret = b;
break;
}
}
else
{
b = b %a;
if(b == 0)
{
ret = a;
break;
}
}
}
return ret;
}
int gcd2(int a,int b)
{
if(b == 0)
return a;
return gcd2(b,a%b);
}
int gcd3(int a,int b)
{
while(b){
int t = b;
b = a%b;
a = t;
}
return a;
}
int main(void)
{
int a, b;
a= 100;
b = 45;
printf("%s line %d, res1 %d, res2 %d, res3 %d.\n", __func__, __LINE__, gcd1(a, b), gcd2(a, b), gcd3(a, b));
return 0;
}
下面用一幅图示解题过程，图中蓝色的举行单元表示一个最小公约的单元。它具有以下性质：
1.以最小公约表示的两个原数字互质。（这是必然，反证法，如果不互质，则可以提取一个共同的因子重新定义最小公约单元，直到表示为互质，比如图中的8和3互质）。
2.辗转相除的每个阶段的两个数字也均互质，证明过程类似，反正法即可（当前辗转阶段如果存在共同的约数，则必然传递到之前的阶段也都有同样的约数，所以同理最小公约单元也要重新定义，直到每级辗转互质）。
基于以上两个严密的逻辑，辗转相除一定能够找到组成两个数字的最基本的公约块儿，它是两个数字共有的零件。
扩展-求最小公倍数
既然上一步已经计算得到了最小公约数，并且得到了以最小公约表示的两个原数字互质的推论，就不难得到计算最小公倍数的公用公式。
通用算法，已知数字m,n的最大公约数是g,则m/g, n/g互质，两个互质的数的最小公倍数就是两个质数之积，所以，最小公倍数为
由于单元为g,所以最小公倍数的真实值为：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int gcd1(int a, int b)
{
int ret;
while(1)
{
if(a >= b)
{
a = a%b;
if(a == 0)
{
ret = b;
break;
}
}
else
{
b = b %a;
if(b == 0)
{
ret = a;
break;
}
}
}
return ret;
}
int gcd2(int a,int b)
{
if(b == 0)
return a;
return gcd2(b,a%b);
}
int gcd3(int a,int b)
{
while(b){
int t = b;
b = a%b;
a = t;
}
return a;
}
int lcm1(int a, int b)
{
int g_c_d = gcd1(a, b);
return a*b/g_c_d;
}
int lcm2(int m, int n)
{
int mn, r ;
if(m<n){
mn = m ;
m = n ;
n = mn;
}
mn = m * n ;//俩个数的乘积
r = m % n ;
while(r!=0){
m = n ;
n = r ;
r = m % n ;
}
return mn/n; //n为最大公约数
}
int main(void)
{
int a, b;
a= 100;
b = 45;
printf("%s line %d, res1 %d, res2 %d, res3 %d, lcm1 %d, lcm2 %d.\n", __func__, __LINE__, gcd1(a, b), gcd2(a, b), gcd3(a, b), lcm1(a, b), lcm2(a,b));
return 0;
}
main line 84, res1 5, res2 5, res3 5, lcm1 900, lcm2 900.
图解：
LCM of 32, 48 and 72 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 288
关于两个互质数的最小公倍数是两数之积，可以证明如下，假设a,b两数互质，也就是两数没有1以外的公约数，则最小公倍数是axb.
不失一般情况，假设a<b,则a的倍数从小到大排列为a,2a,3a,......(b-1)a, ba;在ba之前的所有a的倍数中，假设ka(1<k<b)同样也是b的倍数，则
是整数。
由于a,b互质，则a/b不可能存在导致结果为整数的因子，所以只有k存在这个因子，但是k小于b,所以同样得到结论，这样的K不存在，这样，最小的公倍数只能是ab了，结论得证。
或者用反证法，我们知道ab一定是公倍数，要证明是最小，其它公倍数对最小公倍数之间一定可以整除（其他公倍数之间不一定），所以假设ab/n是其最小公倍数，则根据ab/n整除a,b可以推理出n是a,b的公因数，这和a,b互质矛盾。
总结：
基本原理：两个整数的最大公约数等于，其中较小的数和两数的差的最大公约数。
个人解析：若A、B有最大公约数K（A > B)，则，A、B、（A - B）、A mod B（A / B的余数），都是K的倍数。即余数（A - B）和 B 的最大公公约数也是 K 。
由此递归，可知当 A mod B = 0，即 A 是 B 的倍数时，此时，B 即为 K 。实际上，存在如下定理：
两数最大公约数与最小公倍数的积等于两数之积，用公式表示就是：
当
时
最大公因数*最小公倍数=pq
结束
