常用的复数表达方式有很多种，比如最常见的一种
还有一种类似于极坐标的表达方式
但是还有一种工程中应用最广发，最漂亮，奇迹般的表达方式，它就是大名鼎鼎的欧拉公式：
这个公式是欧拉再1740年左右发现的，那个时候乾隆才当了４年皇帝．
下面用运动的方式来图形化演示欧拉公式到底说了什么
回忆一下一个基本的事实，
是它自身的导数，也就是
虽然是推导出来的，但是在微积分中，这是一个可以拿来作为定义的事实，也就是说，如果有人说一个函数满足
并且
那么可以肯定的得到结论：
类似的，如果
是一个实常数，则
和下面的条件等价
并且
为了把通常的指数函数
从
的实数域推广到虚数值，我们可以抓住这一点不放，坚定认定，当
时，此式为真，即:
实函数的导数理解为斜率，但是怎样理解虚函数的求导呢？
还记得在高等数学中，老师介绍微积分的时候，是通过速度，位移引入的，速度和位移同样都是矢量，可以用复数表示．
是位移．所以，无论是实数域还是复数域，给定了一个自变量的复函数，总可以把
看成是运动过程中动点的位置，运用求导的方法，得到它的矢量速度．
把这个想法应用到
上面，
上面的式子得到一个结论，就是速度始终和位置大小相同，但是垂直于当前的位置．
我们知道初始位置的值是
所以运动过程的初始速度是
,也就是垂直向上运动，一段时间后，将运动到新的位置，而新位置的速度与新位置的向量仍然成直角，按照此种方法构造的运动，很明显，将会是如下方式的圆运动：
接下来看一下，为什么一定要是
指数才可以呢？其它的实数为什么不行呢，
的特殊性究竟再哪里呢？对于
如果
则
恰好是欧拉公式，我们看一下当
的时候，运动图像会有什么不同:
从动图可以看出，
点在区间
运动时，只有
，也就是红色的向量，围绕原点运动了整整一圈,
由于角速度过大，围绕原点超过了１圈，而
则由于角速度过小，当自变量A变动一周后，像点运动不到一圈．特别的，当A运动到
点时，
恰好运动到负实轴的-1，也就是
就是号称世界上最美公式的欧拉公式！
如果指数用复数代替纯虚数，则可以写成
下图表示当
时，
随着级数的增加，级数和螺旋式样收敛于 e圆上，其与远点的距离为
,角度为
弧度．对于z=1+2i的情况，2 弧度=114.59156 度，收敛于e圆上．实际上，这种曲线有一个专门的名字，叫做对数螺线，老鹰抓小鸡，飞蛾扑火，导弹追踪目标，走出的都是对数螺线的轨迹。
另一种推导
根据棣莫弗公式：
当n趋近于无穷大时：
不失为另一种有趣的证明方式。
扩展，关于e
银行复利与自然常数e之间的关系,我们拿1元到银行去存，存一年，年利息是100%,聪明的你一眼就得出年收入是2元,这实在太少了，我们拿到第二家银行去存，利息半年算一次,一年的收入就是2.25元,计算方法是：
以此类推，一年内结算n次就是：
典型的，如果一天一结算，就是：
这个值不是无限增大的，当n趋于无穷大时，会趋于某个稳定值，这个值就是e了，我们用图形画出来就是如下图所示：
根据函数图像也可以看出，当n趋向负无穷时，极限也是e,推算一下,下式x>0,则-x<0：
