【小航的算法日记】回溯法

原创

wx6384c0e6d11a4 2022-11-29 10:17:35 博主文章分类：小航的算法日记 ©著作权

文章标签 算法深度优先 leetcode git c代码 文章分类 数据结构与算法人工智能

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一、概念

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独

去重：树层去重 + 树枝去重

这有两个维度：

一个维度是同一树枝上“使用过”
一个维度是同一树层上“使用过”

常见的套路：排序+剪枝

可以通过标记数组或者下标限制

一旦把Set放在类成员位置，它控制的就是整棵树，包括树枝。

二、模板

回溯三部曲：

确定回溯函数参数
确定终止条件
确定单层遍历逻辑

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

for循环横向遍历，递归纵向遍历

三、例题：

组合问题：

题：77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按任何顺序返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示：

1 <= n <= 20
1 <= k <= n

解：

解题思路：

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        dfs(n, k, 1);
        return res;
    }
    void dfs(int n, int k, int idx) {
        // 终止条件
        if(path.size() == k) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        // 横向遍历 + 剪枝
        for(int i = idx; i <= n-(k-path.size())+1; ++ i) {
            path.add(i);
            dfs(n, k, i+1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：216. 组合总和 III

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

解：

解题思路：

【小航的算法日记】回溯法_git_02

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        dfs(n, k, 1, 0);
        return res;
    }

    void dfs(int tarSum, int k, int idx, int sum) {
        if(sum > tarSum) return; // 剪枝
        // 终止条件
        if(path.size() == k) {
            if(sum == tarSum) res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = idx; i <= 9-(k-path.size())+1; ++ i) { // 剪枝
            sum += i;
            path.add(i);
            dfs(tarSum, k, i+1, sum);
            sum -= i;
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：17. 电话号码的字母组合

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按任意顺序返回。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

【小航的算法日记】回溯法_深度优先_03

示例 1：

输入：digits = "23"
输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]

示例 2：

输入：digits = ""
输出：[]

示例 3：

输入：digits = "2"
输出：["a","b","c"]

提示：

0 <= digits.length <= 4
digits[i] 是范围 ['2', '9'] 的一个数字。

解：

解题思路：

AC代码：

class Solution {
    String[] letters = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};
    List<String> res = new ArrayList<>();
    StringBuilder path = new StringBuilder();

    public List<String> letterCombinations(String digits) {
        if(digits == null || digits.length() == 0) return res;
        dfs(digits, 0);
        return res;
    }
    void dfs(String digits, int idx) {
        // 结束条件
        if(path.length() == digits.length()) {
            res.add(path.toString());
            return;
        }
        // 需要遍历的字符串
        String str = letters[digits.charAt(idx) - '0'];
        for(int i = 0; i < str.length(); ++ i) {
            path.append(str.charAt(i));
            dfs(digits, idx + 1);
            path.deleteCharAt(path.length() - 1);
        }
    }
}

题：39. 组合总和

给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。你可以按任意顺序返回这些组合。

candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

提示：

1 <= candidates.length <= 30
1 <= candidates[i] <= 200
candidate 中的每个元素都 互不相同
1 <= target <= 500

解：

解题思路：求和问题：排序+剪枝

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        dfs(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] candidates, int tarSum, int idx, int sum) {
        if(sum > tarSum) return;
        if(sum == tarSum) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = idx; i < candidates.length; ++ i) {
            sum += candidates[i];
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, tarSum, i, sum); // 这里i不加，表示可以重复
            sum -= candidates[i];
            path.removeLast();
        }
    }
}

解题思路：剪枝版

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates); // 排序
        dfs(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] candidates, int tarSum, int idx, int sum) {
        if(sum == tarSum) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = idx; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= tarSum; ++ i) { // 剪枝
            sum += candidates[i];
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, tarSum, i, sum); // 这里i不加，表示可以重复
            sum -= candidates[i];
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：40. 组合总和 II

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。

注意：解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

提示:

1 <= candidates.length <= 100
1 <= candidates[i] <= 50
1 <= target <= 30

解：

解题思路：树枝可以重复，树层不可以

小结：
candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下:

used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

使用布尔数组used去重

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates); // 排序，把相同元素放在一起
        used = new boolean[candidates.length];
        dfs(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] candidates, int tarSum, int idx, int sum) {
        // 结束条件
        if(tarSum == sum) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }
        for(int i = idx; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= tarSum; ++ i) { // 剪枝
            if(i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] && !used[i-1]) continue; // 树层剪枝
            sum += candidates[i];
            used[i] = true;
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, tarSum, i+1, sum); // 每个数字在组合中只能用一次
            sum -= candidates[i];
            used[i] =false;
            path.removeLast();
        }
    }
}

解题思路：通过下标代替布尔数组去重

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates); // 排序，把相同元素放在一起
        dfs(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] candidates, int tarSum, int idx, int sum) {
        // 结束条件
        if(tarSum == sum) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }
        for(int i = idx; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= tarSum; ++ i) { // 剪枝
            if(i > idx && candidates[i] == candidates[i-1]) continue; // 树层剪枝
            sum += candidates[i];
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, tarSum, i+1, sum); // 每个数字在组合中只能用一次
            sum -= candidates[i];
            path.removeLast();
        }
    }
}

分割问题：

题：131. 分割回文串

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。

回文串 是正着读和反着读都一样的字符串。

示例 1：

输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]

示例 2：

输入：s = "a"
输出：[["a"]]

提示：

1 <= s.length <= 16
s 仅由小写英文字母组成

解：

解题思路：切割问题类似组合问题

例如对于字符串abcdef：

组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中在选组第三个…。
切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中在切割第三段…。

【小航的算法日记】回溯法_leetcode_04

AC代码：

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<String> path = new LinkedList<>();

    public List<List<String>> partition(String s) {
        dfs(s, 0);
        return res;
    }

    void dfs(String s, int idx) {
        // 终止条件：切割线到了尽头
        if(idx >= s.length()) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = idx; i < s.length(); ++ i) {
            // 切割[idx, i]
            String str = s.substring(idx, i + 1);
            if(!isPal(str)) continue; // 剪枝
            path.add(str);
            dfs(s, i + 1); // 从下一个位置开始切割
            path.removeLast();
        }
    }

    boolean isPal(String str) {
        for(int l = 0, r = str.length() - 1; l < r; ++ l, -- r) {
            if(str.charAt(l) != str.charAt(r)) return false;
        }
        return true;
    }
}

题：93. 复原 IP 地址

有效 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 ‘.’ 分隔。

例如：“0.1.2.201” 和 “192.168.1.1” 是有效 IP 地址，但是 “0.011.255.245”、“192.168.1.312” 和 “192.168@1.1” 是无效 IP 地址。

给定一个只包含数字的字符串 s ，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能的有效 IP 地址，这些地址可以通过在 s 中插入 ‘.’ 来形成。你不能重新排序或删除 s 中的任何数字。你可以按任何顺序返回答案。

示例 1：

输入：s = "25525511135"
输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]

示例 2：

输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]

示例 3：

输入：s = "101023"
输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]

提示：

0 <= s.length <= 20
s 仅由数字组成

解：

解题思路：

AC代码：

class Solution {
    List<String> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<String> path = new LinkedList<>();

    public List<String> restoreIpAddresses(String s) {
        if(s.length() < 4 || s.length() > 12) return res;
        dfs(s, 0);
        return res;
    }

    void dfs(String s, int idx) {
        // 结束条件
        if(path.size() == 4) {
            String str = String.join(".", path);
            if(str.length() == (s.length() + 3)) {
                res.add(str);
            }
            return;
        }
        for(int i = idx; i < s.length() && i < idx + 3; ++ i) { // 横向遍历
            String str = s.substring(idx, i + 1);
            if(!isValid(str)) break;  
            path.add(str);
            dfs(s, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }

    boolean isValid(String str) {
        if(str.length() <= 0 || str.length() > 3) return false;
        if(str.charAt(0) == '0' && str.length() > 1) return false;
        for(Character c : str.toCharArray()) {
            if(!Character.isDigit(c)) return false;
        }
        if(Integer.parseInt(str) > 255) return false;
        return true;
    }
}

子集问题：

组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，
子集问题是找树的所有节点。

题：78. 子集

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

1 <= nums.length <= 10
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有元素 互不相同

解：

解题思路：

【小航的算法日记】回溯法_c代码_05

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        dfs(nums, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] nums, int idx) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        if(idx >= nums.length) return;
        for(int i = idx; i < nums.length; ++ i) {
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：90. 子集 II

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按任意顺序排列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

1 <= nums.length <= 10
-10 <= nums[i] <= 10

解：

解题思路：

树层去重：A-B-C 如果从A走到C没经过B，必然B不在当前A到C的路径，因为已经排好序了。

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;
    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums); // 对num排序，便于去重
        used = new boolean[nums.length];
        dfs(nums, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] nums, int idx) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        // 终止条件
        if(idx >= nums.length) return;
        for(int i = idx; i < nums.length; ++ i) {
            // 树层去重
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1]) continue;
            // 处理节点
            path.add(nums[i]);
            used[i] = true;
            dfs(nums, i + 1); // 递归
            // 回溯，撤销处理结果
            path.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

解题思路：

不使用used数组来去重，因为递归的时候下一个startIndex是i+1而不是0。

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums); // 对num排序，便于去重
        dfs(nums, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] nums, int idx) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        for(int i = idx; i < nums.length; ++ i) {
            // 树层去重
            if(i > idx && nums[i] == nums[i-1]) continue;
            // 处理节点
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums, i + 1); // 递归
            // 回溯，撤销处理结果
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：491. 递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中至少有两个元素。你可以按任意顺序返回答案。

数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

示例 1：

输入：nums = [4,6,7,7]
输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]

示例 2：

输入：nums = [4,4,3,2,1]
输出：[[4,4]]

提示：

1 <= nums.length <= 15
-100 <= nums[i] <= 100

解：

解题思路：子集 + 树层去重【不可排序采用哈希】

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        dfs(nums, 0);
        return res;
    }
    void dfs(int[] nums, int idx) {
        if(path.size() > 1) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            // 每个节点都取，不需要return
        }
        // 数组哈希
        int[] used = new int[201];
        Arrays.fill(used, 0);
        for(int i = idx; i < nums.length; ++ i) { // 树层去重
            if(!path.isEmpty() && nums[i] < path.getLast() || used[nums[i] + 100] == 1) continue;
            used[nums[i] + 100] = 1;
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

排列问题：

i下标开始问题：

如果 [ 1 , [2,3] ] 后, [ 2 , [3] ] ，则需要引入idx参数
如果 [ 1 , [2,3] ] 后, [ 2 , [1,3] ] ，则不需要，直接i=0开始

题：46. 全排列

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

1 <= nums.length <= 6
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有整数 互不相同

解：

解题思路：

【小航的算法日记】回溯法_git_06

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        dfs(nums);
        return res;
    }

    void dfs(int[] nums) {
        if(path.size() == nums.length) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }
        for(int i = 0; i < nums.length; ++ i) { // 1,2 2,1不一样，所以下标从0开始
            if(used[i]) continue; // 路径去重
            used[i] = true;
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums);
            used[i] = false;
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：47. 全排列 II

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
 [1,2,1],
 [2,1,1]]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

提示：

1 <= nums.length <= 8
-10 <= nums[i] <= 10

解：

解题思路：树层去重 + 路径去重

AC代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        Arrays.sort(nums);
        dfs(nums);
        return res;
    }

    void dfs(int[] nums) {
        if(path.size() == nums.length) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }
        for(int i = 0; i < nums.length; ++ i) {
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1]) continue; // 树层去重
            if(used[i]) continue; // 路径去重
            used[i] = true;
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums);
            used[i] = false;
            path.removeLast();
        }
    }
}

题：332. 重新安排行程

给你一份航线列表 tickets ，其中 tickets[i] = [fromi, toi] 表示飞机出发和降落的机场地点。请你对该行程进行重新规划排序。

所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。如果存在多种有效的行程，请你按字典排序返回最小的行程组合。

例如，行程["JFK", "LGA"] 与 ["JFK", "LGB"]相比就更小，排序更靠前。

假定所有机票至少存在一种合理的行程。且所有的机票必须都用一次且只能用一次。

示例 1：

【小航的算法日记】回溯法_leetcode_07

输入：tickets = [["MUC","LHR"],["JFK","MUC"],["SFO","SJC"],["LHR","SFO"]]
输出：["JFK","MUC","LHR","SFO","SJC"]

示例 2：

【小航的算法日记】回溯法_git_08

输入：tickets = [["JFK","SFO"],["JFK","ATL"],["SFO","ATL"],["ATL","JFK"],["ATL","SFO"]]
输出：["JFK","ATL","JFK","SFO","ATL","SFO"]
解释：另一种有效的行程是 ["JFK","SFO","ATL","JFK","ATL","SFO"] ，但是它字典排序更大更靠后。

提示：

1 <= tickets.length <= 300
tickets[i].length == 2
fromi.length == 3
toi.length == 3
fromi 和 toi 由大写英文字母组成
fromi != toi

解：

解题思路：迭代器不能做删除，所以我们这里引入一个ticketNum计数

AC代码：

class Solution {
    LinkedList<String> path = new LinkedList<>();
    // <A, <<B,1>,<C,1>,<D,1>> >
    // A->B, A->C, A->D
    Map<String, Map<String, Integer>> map = new HashMap<>(); 
    int num = 1; // 站点数

    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
        // 统计每一站可能去往的站点
        for(List<String> t : tickets)  {
            Map<String, Integer> temp;
            if(map.containsKey(t.get(0))) {
                temp = map.get(t.get(0));
                temp.put(t.get(1), temp.getOrDefault(t.get(1), 0) + 1);
            }else {
                temp = new TreeMap<>(); // 升序Map，每次遍历都从最小字典序开始遍历
                temp.put(t.get(1), 1);
            }
            map.put(t.get(0), temp);
        }
        path.add("JFK");
        num = tickets.size() + 1;
        dfs();
        return new ArrayList<>(path);
    }
    // 只需要找一条路径即可，boolean
    boolean dfs() {
        // 飞程 + 1 = 经过的站点
        if(path.size() == num) return true;
        String last = path.getLast(); // 拿到路径最后一个站
        // 看看它的下一站
        if(map.containsKey(last)) { // 有下一站
            for(Map.Entry<String, Integer> target : map.get(last).entrySet()) { // 遍历它的每一个下一站
                int count = target.getValue();
                if(count > 0) {
                    path.add(target.getKey());
                    target.setValue(count - 1);
                    if(dfs()) return true;
                    target.setValue(count);
                    path.removeLast();
                }
            }
        }
        return false;
    }
}

棋盘问题：

题：51. N 皇后

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

【小航的算法日记】回溯法_深度优先_09

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

1 <= n <= 9

解：

解题思路：同行、同列、斜线不能有

【小航的算法日记】回溯法_c代码_10

AC代码：

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for(char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        dfs(n, 0, chessboard);
        return res;
    }
    void dfs(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if(row == n) {
            res.add(charToList(chessboard));
            return;
        }
        for(int col = 0; col < n; ++ col) {
            if(!isValid(row, col, n, chessboard)) continue;
            chessboard[row][col] = 'Q';
            dfs(n, row + 1, chessboard);
            chessboard[row][col] = '.';
        }
    }
    boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        // 检查列
        for(int i = 0; i < row; ++ i) {
            if(chessboard[i][col] == 'Q') return false;
        }
        // 检查45°对角线
        for(int i = row-1, j = col+1; i>=0 && j<=n-1; --i, ++ j) {
            if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        // 检查135°对角线
        for(int i = row-1, j = col-1; i>=0 && j>=0; --i, --j) {
            if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    List<String> charToList(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();
        for(char[] c : chessboard) {
            list.add(String.valueOf(c));
        }
        return list;
    }
}

题：37. 解数独

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需遵循如下规则：

数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 ‘.’ 表示。

示例：

【小航的算法日记】回溯法_深度优先_11

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],            [".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],  ["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],  [".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],    ["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],  ["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

board.length == 9
board[i].length == 9
board[i][j] 是一位数字或者 '.'
题目数据 保证 输入数独仅有一个解

解：

解题思路：二维递归

【小航的算法日记】回溯法_c代码_12

AC代码：

class Solution {
    public void solveSudoku(char[][] board) {
        dfs(board);
    }
    boolean dfs(char[][] board) {
        for(int i = 0; i < 9; ++ i) {
            for(int j = 0; j < 9; ++ j) {
                if(board[i][j] != '.') continue;
                for(char k = '1'; k <= '9'; ++ k) {
                    if(!isValid(i, j, k, board)) continue;
                    board[i][j] = k;
                    if(dfs(board)) return true;
                    board[i][j] = '.';
                }
                return false; // 这一行没法填数字了
            }
        }
        return true; // 全部填完
    }
    boolean isValid(int row, int col, char val, char[][] board) {
        // 判断列
        for(int i = 0; i < 9; ++ i) {
            if(board[i][col] == val) return false;
        }
        // 判断行
        for(int j = 0; j < 9; ++ j) {
            if(board[row][j] == val) return false;
        }
        // 判断九宫格
        int startRow = (row / 3) * 3;
        int startCol = (col / 3) * 3;
        for(int i = startRow; i < startRow + 3; ++ i) {
            for(int j = startCol; j < startCol + 3; ++ j) {
                if(board[i][j] == val) return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

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