【Acwing提高】DP·状态机模型

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DP·状态机模型

• ​​知识点​​
• ​​题目​​

• ​​大盗阿福​​
• ​​股票买卖 IV​​
• ​​股票买卖 V​​
• ​​设计密码​​
• ​​修复DNA​​

• ​​小结​​

知识点

题目	扩展方式	扩展来源
大盗阿福	不相邻（选不选最后一个）	状态机DP
股票买卖 IV	股票买卖问题，交易次数限制	状态机DP
股票买卖 V	股票买卖问题，没有交易次数限制	状态机DP

题目

大盗阿福

思路

先找出状态：第i天（最后）抢劫与不抢劫
然后考虑状态转移：
抢劫了最后一个店铺的状态不能再抢劫最后一个店铺
没抢劫最后一个店铺，可以再抢劫最后一个店铺，也可以不抢劫最后一个店铺

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int T,n;
int f[N][2];
int w[N];
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
            f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];
        }
        cout<<max(f[n][0],f[n][1])<<endl;
    }
    return 0;
}

错误代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int T,n;
int f[N][2];
int w[N];
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
        memset(f,0xcf,sizeof f);
        f[0][0]=0;
        f[1][0]=0;
        f[1][1]=w[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
            if(i>=2)f[i][1]=f[i-2][0]+w[i];
            //状态是从不选第i-1件状态转移过来，而不是从不选第i-2状态转移过来。自己复述一遍啊
        }
        cout<<max(f[n][0],f[n][1])<<endl;
    }
    return 0;
}

股票买卖 IV

思路

手中有货状态：

前一天本来就有货没操作，前一天本来没货然后进货了

手中没货的状态

前一天本来没货没操作，前一天本来有货后来卖掉了

$f[n][k][0/1]里的k定义为进行了k次交易，而非最多交易k次$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+10,M=105;
int w[N];
int f[N][M][2];//第i天，第j次操作，手中没股票(0)/手中有股票(1)
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    memset(f,0xcf,sizeof f);//求max初始化-INF
    f[0][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        {
            f[i][j][0]=f[i-1][j][0];
            if(j>=1)f[i][j][0]=max(f[i][j][0],f[i-1][j-1][1]+w[i]);
            f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j][0]-w[i]);//注意买卖一次才算一次交易
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=k;i++)res=max(res,f[n][i][0]);
    cout<<res;
    return 0;
}

降维度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+10,M=105;
int w[N];
int f[M][2];//第i天，第j次操作，手中没股票(0)/手中有股票(1)
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    memset(f,0xcf,sizeof f);//求max初始化-INF
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        {
            f[j][0]=f[j][0];
            if(j>=1)f[j][0]=max(f[j][0],f[j-1][1]+w[i]);
            f[j][1]=max(f[j][1],f[j][0]-w[i]);//注意买卖一次才算一次交易
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=k;i++)res=max(res,f[i][0]);
    cout<<res;
    return 0;
}

还有一种应该是反悔贪心的做法，但是我实在搞不明白反悔贪心就先不整了
时间复杂度应该$O(N)$

股票买卖 V

思路

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int w[N];
int f[N][3];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    memset(f,0xcf,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    //更精确的入口定义
    //f[0][0]=0;
    //f[0][1]=f[0][2]=0xcfcfcfcf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]);
        f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][0]-w[i]);
        f[i][2]=f[i][1]+w[i];
    }
    printf("%d",max(f[n][0],f[n][2]));
    return 0;
}

后面两题涉及KMP和AC自动机先放一下

设计密码

修复DNA

小结

状态机DP
划分状态，明确出口入口，标记边权

如何去描述状态转移方程
第i阶段的xx状态，可以有第i-1阶段的xx状态转移过来，转移边权为w[i]