计算机组成原理（2.1）—— 数制和编码

文章目录

• ​​一、信息的二进制编码​​

• ​​1. 信息编码的必要性​​
• ​​2. 信息的二进制编码​​

• ​​二、数值数据的表示​​

• ​​1. 进位计数制​​
• ​​2. 定点与浮点表示​​
• ​​3. 定点数的编码表示​​

• ​​（1）原码​​
• ​​（2）反码​​
• ​​（3）补码​​
• ​​（4）移码​​
• ​​（5）四种定点数编码形式的对比​​

一、信息的二进制编码

1. 信息编码的必要性

• 计算机内部处理的所有数据都必须是 “数字化编码” 过的数据
• 现实世界中的信息（声音、文字、图像…）由输入设备转二进制编码表示，输入设备必须有 “离散化” 和 “编码” 两方面功能
• “计算机层次结构” 在数据表示中的反映
• 媒体信息被计算机处理的过程

2. 信息的二进制编码

二、数值数据的表示

• 数值数据表示的三要素（确定一个数值数据的值必须先确定这三个要素）
• 用二进制编码
• 进位计数制
• 定、浮点表示

1. 进位计数制

1. 在R进制数字系统中，采用R个基本符号(0,1,2,.,R- 1)表示各位上的数字，采用 “逢R进一” 的运算规则，对于每一个数位i，该位上的权为$R^i$。R被称为该数字系统的基数

2. 在计算机系统中,常用的几种进位记数制有下列几种

   进制	R	后缀表示	基本符号
   二进制	2	B	0,1
   八进制	8	O	0,1,2,3,4,5,6,7
   十六进制	16	H	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
   十进制	10	D	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

3. 进制转换

   2. ​​R进制 → 十进制​​：按权展开

   

   3. 
      
   5. ​​十进制 → R进制​​：整数小数分开处理
   2. 整数部分的转换方法是：“除基取余，上右下左”。也就是说，用要转换的十进制整数去除以基数R，将得到的余数作为结果数据中各位的数字，直到余数为0为止。上面的余数(先得到的余数) 作为右边低位上的数位，下面的余数作为左边高位上的数位。

   

   3. 
      
   5. 小数部分的转换方法是：“乘基取整，上左下右”。也就是说,用要转换的十进制小数去乘以基数R，将得到的乘积的整数部分作为结果数据中各位的数字,小数部分继续与基数R相乘。以此类推，直到某步乘积的小数部分为0或已得到希望的位数为止。最后,将上面的整数部分作为左边高位上的数位，下面的整数部分作为右边低位上的数位。

   

   6. 
      
   8. ​​二/八/十六进相互转换​​
   2. ​​八/十六进制 → 二进制​​：每一位数改成等值的3/4位二进制数，整数部分高位0省略；小数部分低位0省略

   

   3. 
      
   5. ​​二进制 → 八/十六进制​​：整数部分从低向高每3/4位数用一个等值八/十六进制数替换，不足时高位补0；小数部分从高向低每3/4位数用一个等值八/十六进制数替换，不足时低位补0；

   

   6. 
      

2. 定点与浮点表示

• 计算机中只能表示0/1，不能表示小数点，小数点的处理方法区分定点数和浮点数

• 定点数可能是小数或整数，只是小数点位置要么在最左要么在最右，定点数是浮点数的组成部分；

• 定点数和浮点数是计算机中整数和实数表示的基础



• 浮点数中

  • 绝对值最小的非零数是 $0.0....01 \times R^{-11...1}$
  • 绝对值最大的非零数是 $0.1....11 \times R^{11...1}$

3. 定点数的编码表示

• 定点/浮点表示解决了小数点问题
• 如何数字化符号部分：用0和1表示正负号，通常0代表正号。
• 数字化的符号部分如何和数值部分一起参与运算：各种把符号位和数值部分一起编码的方法，因为浮点数 = 定点整数 + 定点小数，所以只要考虑定点数的编码表示
• 定点数编码方法：原码、反码、补码、移码

（1）原码

• 示例（8位原码表示十进制数）

  • $[-3]_原 = 1000 0011$
  • $[0.25]_原 = 0.010 0000$
  • $[0]_原 = 10000000 = 00000000$
  • $[+0]_原 \neq [-0]_原$
• 原码整数和小数的表示范围，关注范围和特殊值

（2）反码

• 示例（8位反码表示二进制数）

  • $[-0.0110]_反 = 1.1001$
  • $[+0.0000]_反 = 0.0000$
    $[-0.0000]_反 = 1.1111$
• 反码整数和小数的表示范围，关注范围和特殊值



• 无论整数还是小数，原码和反码的表示范围相同，且0都有两种表示方法

（3）补码

1. 模运算系统

   • 一天中的24小时是一个模运算系统，任意时刻的钟点数都是0到23间的一个整数，这有点类似24进制
   • 今天的第24点，就是明天的0点；
   • 今天的25点，就是明天的凌晨1点；
   • 今天的-5点，就是昨天的19点，我们称19是-5对模24的补码 / -5的模24补码等于19
   • 钟表上的12个刻度也是一个模运算系统。假定时钟现在指向10，要把指针只向6，有两种方法
   • 倒拨4格：10 - 4 = 6
   • 正拨8格：10 + 8 = 18 = 6 (mod 12)
   • 所以模12系统中 -4 = 8 (mod 12)，我们称8是-4对模12的补码 / -4的模12补码等于8
   • 根据以上示例，可以得结论：一个模运算系统中：
   • 一个负数可以用它的正补数（负数的补码）代替，​​一个负数的补码 = 模 - 该负数的绝对值​​
   • 一个负数和其正补数的绝对值之和 = 模
   • 一个正数的补数即为其本身
   • 可以把减法运算转换为加法运算：​​A - B = A + B的补码​​
   5. 计算机也是一个模运算系统
   • 计算机中的存储部件和运算部件都只有有限位，如果运算产生了多于n位的数据，高位舍去，这称为 “溢出”
   • 在计算机中，模是根据数据长度来的，n的模就是1后加n个0

   

   • 
     

2. 补码

   2. 编码规则

   

   3. 用途：表示定点整数

   5. 特殊数的补码（假定机器数有n位）

   

   • $[-2^{n-1}]_补= 2^n - 2^{n-1} = 10…0（n-1个0） （mod 2^n）$

   • $[-1]_补= 2^n - 0…01 = 11…1（n个1） （mod 2^n）$

   • $[-1.0]_补= 2 - 1.0 = 1.00…0（n-1个0） （mod 2）$

   • $[+0]_补= [-0]_补= 00…0（n个0）$

     注：计算机中并不会出现​​-1.0​​的补码，这里只是想说明：同一个真值在机器中可能有不同的机器数！，另外可以看到，0的补码表示只有一种

   6. 示例

      1. $[-1101]_补 = 10011$
      2. $[-0.0110]_补 = 2+x = 10.0000 - 0.0110 = 1.1010$
      3. $[+0.00]补= [-0.00]_补= 10.00 - 0.00 = 10.00 = 0.00（溢出）$
   8. 补码整数和小数的表示范围，关注范围和特殊值

   

   10. 补码与真值的简单转换

   

   • $[X]_补$到$[-X]_补$：连带符号位 “各位取反，末尾加1”
   • $X$和$[X]_补$的互转：符号位/正负性单独判断，数值部分“各位取反，末尾加1”

（4）移码

• 移码主要用于表示浮点数的阶码，只能表示整数
• 同一个真值的移码和补仅差一个符号位



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• 移码的表示范围



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（5）四种定点数编码形式的对比

1. 原、反、补码的最高位均为符号位

2. 真值为正时，原、反、补码形式相同，即符号位用0表示，数值部分同真值

3. 真值为负时，原、反、补码形式不同，符号位都用1表示，数值部分

   1. 反码是原码的 “每位取反”
   2. 补码是原码的 “每位取反再加1”

4. 移码和补码仅符号位不同

5. 关于表示范围：

   1. 原码和反码的整数、小数表示范围相同，且0都有2种表示方法
   2. 补码和移码的整数表示范围相同，且0都只有1种表示方法

6. 用途

   1. 原码：计算机中用原码小数表示实数（浮点数）尾数部分
   2. 移码：计算机中用移码整数表示实数（浮点数）指数部分
   3. 补码：计算机中用补码表示有符号整数
   4. 反码：不直接使用，一般仅用于原码和补码间的变化过程