文章目录

  • ​​一、一维随机变量的数字特征​​
  • ​​1. 数学期望​​
  • ​​（1）概念定义​​
  • ​​（2）说明​​
  • ​​（3）性质​​
  • ​​2. 方差、标准差​​
  • ​​（1）概念​​
  • ​​（2）性质​​
  • ​​3. 切比雪夫不等式​​
  • ​​二、二维随机变量的数字特征​​
  • ​​1. 数学期望​​
  • ​​2. 协方差与相关系数​​
  • ​​（1）概念​​
  • ​​（2） 性质​​
  • ​​（3）深入理解协方差​​
  • ​​三、独立性与相关性的判定​​

一、一维随机变量的数字特征

1. 数学期望

（1）概念定义

  • 如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 是离散型随机变量，其分布列为 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_02，概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03 是 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的函数，概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_05
  • 若级数 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_06绝对收敛，则称随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07 的数学期望存在，并将级数和 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_06 称为随机变量的数学期望，记为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_09，即 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_10 否则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07
  • 若级数 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_12 绝对收敛，则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_13 的数学期望 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_14 存在，且 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_15，否则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_16
  • 如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 是连续型随机变量，其概率密度为 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_18，概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03 是 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的函数，概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_05
  • 若积分 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_22 绝对收敛，则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_23 的数学期望存在，且 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_24，否则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_23
  • 若积分 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_26 绝对收敛，则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_27 的数学期望存在，且 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_28，否则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_27

（2）说明

  • ​​数学期望​​又称为​​概率平均值​​，常常简称 ​​期望​​​ 或 ​​均值​​。数学期望是描述随机变量平均取值状况特征的指标，它刻画随机变量的一切可能值的集中位置
  • 在数学期望的定义中要求级数（或积分）绝对收敛，否则称期望不存在。这是因为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的期望存在要求与 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的取值顺序无关，即要求任意改变 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_32 的次序不应改变 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_33，况且绝对收敛又有很多性质也便于数学上的处理。

（3）性质

  1. 对任意常数 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_34 和随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_35 有 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_36
  1. 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_37
  2. 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_38
  3. 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_39
  1. 设 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 与 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03相互独立，则
  1. 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_42
  2. 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_43
  1. 一般地，设 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_44相互独立，则
  1. 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_45
  2. 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_46

2. 方差、标准差

（1）概念

  1. ​​方差​​​：设 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 是随机变量，如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_48 存在，则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_48 为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的方差，记为 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_51 或 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_52，即
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_53
  2. ​​标准差​​​：称 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_54 为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的标准差或均方差，记为 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_56
  3. ​​标准化随机变量​​​：称随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_57 为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的标准化随机变量，有 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_59

（2）性质

  1. 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_60
  2. 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_61
  3. 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_62
  4. 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_63
  5. 若 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_64 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_65 相互独立，则
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_66
    一般地，如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_67 相互独立，概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_68 为 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_69 的连续函数，则
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_70

3. 切比雪夫不等式

  • 如果随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 的方差 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_51 存在，则对任意 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_73，有
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_74
  • 由切比雪夫不等式知，当 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_51 愈小时，概率 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_76 越大，这表明方差是刻画随机变量与其期望值偏离程度的量，是描述随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07
  • 常用分布的期望和方差

    • 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_78

二、二维随机变量的数字特征

1. 数学期望

  • 设 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_79 为随机变量，概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_80 为 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_79
  • 如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_82 为离散型随机变量，其联合分布为
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_83
    ​ 若级数 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_84 绝对收敛，则定义
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_85
  • 如果 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_82 为连续型随机变量，其概率密度为 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_87，若积分 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_88 绝对收敛，则定义
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_89

2. 协方差与相关系数

（1）概念

  • 如果随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 与 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03 的方差存在且 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_92，则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_93 为随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 与 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03 的 ​​​协方差​​​，记为 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_96，即
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_97
    其中
    ​ 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_98
    称 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_99 为随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 与 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03 的 ​​​相关系数​​​，若为0则称 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望 与 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_03
  • 说明
  • 协方差 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_104 描述随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_23 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_106，比如研究父亲身高 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07 与孩子身高之间的偏 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_108 的偏差程度，便可用 概率论 —— 随机变量的数字特征_数学期望_109) 来刻画
  • 相关系数 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_110 描述随机变量 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_23 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_106 之间的线性相依性，概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_113 的大小是刻画 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_23 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_方差_106。 概率论 —— 随机变量的数字特征_期望_116 表示 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_108 之间不存在线性关系，故称 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_108 不线性相关，但这并不意味着 概率论 —— 随机变量的数字特征_概率论_07 和 概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_108

（2） 性质

  • 协方差相关性质

（3）深入理解协方差

  • 参考：协方差的深入理解
三、独立性与相关性的判定

概率论 —— 随机变量的数字特征_协方差_123