什么是组稀疏?

组稀疏（Group Sparsity）是一种正则化策略，用于在高维数据的特征选择中识别和利用特征之间的结构信息。

在处理数据时，组稀疏假设数据特征不是独立的，而是按照一定结构组织成组，每个组内的特征要么一起被选中，要么一起被排除。

这种策略特别适用于数据中存在自然的特征群组的情况，例如图像中的像素块、基因表达数据中的基因簇等。

组稀疏通常结合L2范数（欧氏范数）在组内部使用，而L1范数在组之间使用。
具体来说，在组稀疏的正则化项中，首先对每组内的特征计算L2范数，再对这些L2范数求和，最后得到L1范数，也就是L2,1范数。这种组合的正则化形式可以促进特征选择，使模型倾向于选择完整的特征组而非单一特征。

组稀疏模型引入到子空间学习中，使其达到特征选择的目的，同时确保了因子矩阵的稀疏性

组稀疏的公式

假设我们有一个特征矩阵 $U \in \mathbb{R}^{m \times k}$，其中( m )是特征数量，( k )是组的数量。对于矩阵( U )，每行 $U_j$ 代表一组特征，( j = 1, 2, …, k )。组稀疏的L2,1范数正则化项可以表示为：

$\| U \|_{2,1} = \sum_{j=1}^{k} \| U_j \|_2$

其中，$\| U_j \|_2$ 是第( j )组特征的L2范数。

举例说明

假设我们有以下的特征矩阵( U )：

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

特征矩阵( U )包含三组特征，每组由一行向量表示。现在我们要计算这个矩阵的组稀疏L2,1范数正则化项。

对于第一组特征(第一行)：
$\| U_1 \|_2 = \sqrt{1^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{1.25}$

对于第二组特征(第二行)：
$\| U_2 \|_2 = \sqrt{2^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

对于第三组特征(第三行)：
$\| U_3 \|_2 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$

组稀疏L21范数正则化项为：
$\| U \|_{2,1} = \sum_{j=1}^{3} \| U_j \|_2 = \sqrt{1.25} + \sqrt{13} + \sqrt{17}$

接下来，让我们计算具体的数值。

import numpy as np

# 计算每一组特征的L2范数
l2_norm_group1 = np.linalg.norm(np.array([1, 0.5, 0]))
l2_norm_group2 = np.linalg.norm(np.array([2, 0, 3]))
l2_norm_group3 = np.linalg.norm(np.array([0, 1, 4]))

# 组稀疏L21范数正则化项
group_sparsity = l2_norm_group1 + l2_norm_group2 + l2_norm_group3

l2_norm_group1, l2_norm_group2, l2_norm_group3, group_sparsity

(1.118033988749895, 3.605551275463989, 4.123105625617661, 8.846690889831546)