【机器学习】numpy实现NAG(Nesterov accelerated gradient)优化器

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NAG(Nesterov accelerated gradient)优化原理

Momentum是基于动量原理的，就是每次更新参数时，梯度的方向都会和上一次迭代的方向有关，当一个球向山下滚的时候，它会越滚越快，能够加快收敛，但是这样也会存在一个问题，每次梯度都是本次和上次之和，如果是同向，那么将导致梯度很大，当到达谷底的时候很容易动量过大导致小球冲过谷底，跳过当前局部最优位置。

我们希望有一个更智能的球，一个知道它要去哪里的球，这样它知道在山坡再次向上倾斜之前减速。

Nesterov accelerated gradient是一种使动量项具有这种预见性的方法。我们知道我们将使用动量项来移动参数。因此，为我们提供了参数下一个位置的近似值（完全更新时缺少梯度），大致了解了参数的位置。我们现在可以通过计算梯度（不是我们当前参数的，而是我们参数的近似未来位置的）有效地向前看。
$v_t=\gamma v_{t-1}+\eta\nabla_{\theta}J(\theta-\gamma v_{t-1})\\ \theta=\theta-v_t$
第一个公式分为两个部分看，第一项是动量部分，保持上次的梯度方向，第二项就是当前梯度，但是这个不太一样，梯度参数里面是 $\theta-\gamma * v_{t-1}$

我们再次将动量项的值设置为0.9左右。动量首先计算当前梯度（图3中的蓝色小矢量），然后在更新的累积梯度（蓝色大矢量）的方向上进行大跳跃，而NAG首先在先前累积梯度（棕色矢量）的方向上进行大跳跃，测量梯度，然后进行校正（绿色矢量）。此预期更新可防止我们进行得太快，从而提高响应能力，从而显著提高RNN在许多任务上的性能。

现在我们能够根据误差函数的斜率调整更新，并反过来加快SGD，我们还希望根据每个参数的重要性调整更新，以执行更大或更小的更新。

迭代过程

代码实践

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class Optimizer:
    def __init__(self,
                 epsilon = 1e-10, # 误差
                 iters = 100000,  # 最大迭代次数
                 lamb = 0.01, # 学习率
                 gamma = 0.0, # 动量项系数
                ):
        self.epsilon = epsilon
        self.iters = iters
        self.lamb = lamb
        self.gamma = gamma
    
    def nag(self, x_0 = 0.5, y_0 = 0.5):
        f1, f2 = self.fn(x_0, y_0), 0
        w = np.array([x_0, y_0]) # 每次迭代后的函数值，用于绘制梯度曲线
        k = 0 # 当前迭代次数
        v_t = 0.0
        
        while True:
            if abs(f1 - f2) <= self.epsilon or k > self.iters:
                break

            f1 = self.fn(x_0, y_0)

            if k == 0:
                g = np.array([self.dx(x_0, y_0), self.dy(x_0, y_0)])
            else:
                g = np.array([self.dx(x_0 - v_t[0], y_0 - v_t[1]), self.dy(x_0 - v_t[0], y_0 - v_t[1])])
                
            v_t = self.gamma * v_t + self.lamb * g
            
            x_0, y_0 = np.array([x_0, y_0]) - v_t
            
            f2 = self.fn(x_0, y_0)

            w = np.vstack((w, (x_0, y_0)))
            k += 1
        
        self.print_info(k, x_0, y_0, f2)
        self.draw_process(w)
    
    def print_info(self, k, x_0, y_0, f2):
        print('迭代次数：{}'.format(k))
        print('极值点：【x_0】：{} 【y_0】：{}'.format(x_0, y_0))
        print('函数的极值：{}'.format(f2))
        
    def draw_process(self, w):
        X = np.arange(0, 1.5, 0.01)
        Y = np.arange(-1, 1, 0.01)
        [x, y] = np.meshgrid(X, Y)
        f = x**3 - y**3 + 3 * x**2 + 3 * y**2 - 9 * x
        plt.contour(x, y, f, 20)
        plt.plot(w[:, 0],w[:, 1], 'g*', w[:, 0], w[:, 1])
        plt.show()
    
    def fn(self, x, y):
        return x**3 - y**3 + 3 * x**2 + 3 * y**2 - 9 * x
    
    def dx(self, x, y):
        return 3 * x**2 + 6 * x - 9
    
    def dy(self, x, y):
        return - 3 * y**2 + 6 * y
    
"""
    函数: f(x) = x**3 - y**3 + 3 * x**2 + 3 * y**2 - 9 * x
    最优解: x = 1, y = 0
    极小值: f(x,y) = -5
"""
optimizer = Optimizer()
optimizer.nag()

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